Tensores en física

Uno de mis profesores en Cornell me dijo, posiblemente influenciado por Anthony Zee, que la definición de un tensor en física es

Un tensor es cualquier cosa que se transforma como un tensor.

Toda la clase se rió, lo que lo irritó porque, como continuó señalando: no es del todo circular. Una vez que sepa cómo gira un vector bajo una transformación de coordenadas (¡por ejemplo, el vector de posición!), tendrá estas matrices de cambio de coordenadas, y un tensor del rango apropiado es cualquier cosa cuyos componentes se transformen con la combinación adecuada de matrices de cambio de coordenadas. Entonces, "se transforma como un tensor" es una definición externa, no interna.

Un escalar es un tensor (0, 0): es cualquier número (en realidad, cualquier asignación de números a puntos en la variedad, generalmente nos referimos a "campos" escalares) que no cambia bajo una transformación de coordenadas.

En su caso, dado que aparentemente está "perdiendo" el$i=0$componente, probablemente debería buscar algunos$A^i$y$\partial_i$si el$i=0$el componente importa. Usted puede encontrar que$A^0 = \text{constant}$con respecto al tiempo, y luego surgirá que su expresión es de hecho un campo escalar siempre que$A^\mu$es un campo vectorial.

Tensores en geometría

Como puede imaginar, la expresión anterior basada en coordenadas es muy insatisfactoria en la profesión matemática de la geometría diferencial. Hay una gran notación llamada notación de índice abstracto que resuelve sus problemas centrados en coordenadas.

Mira, la definición de física es una "lista negra": dice "haz lo que quieras, y luego descubrirás si es un tensor o no por cómo se comporta cuando cambiamos nuestras coordenadas". Por el contrario, las definiciones geométricas son una "lista blanca": dicen "vamos a empezar con buenos objetos y buenas operaciones, y luego todo lo que creemos será bueno".

Básicamente, definimos un conjunto de funciones$\mathcal A \subseteq (\mathcal M \to \mathbb R)$como "campos escalares", donde$\mathcal M$es cualquier espacio que nos interese. Para$\mathbb R^n$una elección simple son los campos lisos$\mathcal A = C^\infty(\mathcal M, \mathbb R)$. Entonces las derivaciones sobre$\mathcal A$formar un espacio vectorial (normalmente escribiría$v^\alpha \partial_\alpha$para una derivación), y postulamos una métrica, que hace que el espacio vectorial sea isomorfo con su dual. Con un tensor métrico y un tensor antisimétrico, generalmente podemos construir todos los demás objetos que nos interesan, por ejemplo, campos de tensores.

Luego puede insertar estas coordenadas nuevamente, cuando las necesite, marcándolas de manera diferente (que podría ser con mayúsculas, negrita, subrayado, números primos/puntos o cambiando a/desde letras griegas...). Entonces usas algo como los covectores$c^a_\alpha$,$a \in \{0, 1, \dots n-1\}$, para convertir algunos$v^\alpha$(un vector) en su$n$componentes$c^{a}_\alpha v^\alpha$.

En este tipo de cálculo, si limitas parcialmente (en algunas coordenadas)

$$\phi = \sum_{a \in A} \partial_{a} A^{a}$$ y así llegar a una función suave de $\mathcal M \to \mathbb R$, entonces dado que esa función suave está en $\mathcal A$, obviamente es un campo escalar , y todos pueden estar de acuerdo en su existencia y propiedades: sin embargo, alguien más con diferentes coordenadas $v^{\bar a} = \bar c_\alpha^{\bar a} v^a$no estará necesariamente de acuerdo en que puede representarse como $\sum_{\bar a \in A'} \partial_{\bar a} A^{\bar a}$para cualquier conjunto $A'$.

O, por el contrario, en las variedades curvas hay no tensores llamados símbolos de Christoffel que son realmente útiles en la relatividad general; puede usar este enfoque para convertir el símbolo de Christoffel de cualquier marco de referencia en un tensor. Sin embargo: no todos los marcos de referencia estarán de acuerdo en que el tensor de Christoffel resultante tenga alguna relación con sus propios símbolos de Christoffel; no es "el" tensor de Christoffel, sino "un" tensor de Christoffel derivado de este contexto particular. De manera similar, en la relatividad especial, cuando tomamos la velocidad 4, especificamos sin ambigüedades el marco de referencia que el$dt$de tiempo se está midiendo para ser el propio marco de referencia de la partícula, por lo que es un "tiempo adecuado"$d\tau$. La noción resultante es de hecho un tensor (1,0), porque especificamos explícitamente el marco de referencia del que estamos robando la coordenada de tiempo.

Esto no es tan difícil: un escalar es algo que es solo un número y un escalar de Lorentz es un escalar que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, la distancia es un escalar pero no un escalar de Lorentz y un intervalo de tiempo adecuado es un escalar y un escalar de Lorentz.

Para saber si algo es un escalar de Lorentz, simplemente verificamos cómo se transforma bajo una transformación de Lorentz. Para tu ejemplo:

$$\partial_i A^{i} \rightarrow \partial'_i A'^{i} = \rightarrow \Lambda_i{}^j \partial_j \Lambda^{i}{}_k A^{k} = \Lambda_i{}^j \Lambda^{i}{}_k \partial_j A^{k} = \delta^j{}_k \partial_j A^{k} = \partial_j A^{j}$$

y de hecho todos los productos escalares de un vector covariante y contravariante son invariantes de Lorentz. Para ver que esto es un escalar basta con escribir$\partial_i A^{i}$en sus componentes.

Para una explicación de lo que es un tensor mira aquí . Un tensor de Lorentz es entonces un tensor que se transforma como un tensor bajo transformaciones de Lorentz:

$$T^{\mu_1\dots\mu_n}{}_{\nu_1\dots\nu_m}\rightarrow T'^{\mu_1\dots\mu_n}{}_{\nu_1\dots\nu_m} = \Lambda^{\mu_1}{}_{\lambda_1}\dots\Lambda^{\mu_n}{}_{\lambda_n} \Lambda_{\nu_1}{}^{\sigma_1}\dots\Lambda_{\nu_m}{}^{\sigma_m} T^{\lambda_1\dots\lambda_n}{}_{\sigma_1\dots\sigma_m}$$

espero que esto ayude.

Estoy luchando por identificar si un escalar es un escalar de Lorentz. Ej: ∂iAii∈1,2,3. ¿Cómo determino si se trata de un escalar de Lorentz o no? Si tengo el mismo problema con los tensores. ¿Cómo diferencio entre un tensor y un tensor de Lorentz?

¿Por "tensor" te refieres a un tensor en tres dimensiones espaciales? Si es así, entonces un tensor nunca es un tensor de Lorentz. Un tensor de Lorentz necesita que los cuartos componentes se incluyan en cualquier suma para producir un tensor de rango inferior.