Partícula cargada bajo un campo eléctrico uniforme

Supongamos que una partícula cargada$q$comienza a moverse sin velocidad inicial bajo la influencia de un campo eléctrico uniforme$E$apuntando en positivo$x$dirección. Expresar su vector de posición en términos de tiempo propio$\tau$.

Según wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force#Relativistic_form_of_the_Lorentz_force , la fuerza de Lorentz está dada por$\frac {dp^{\alpha}}{d\tau}=qU_{\beta}F^{\alpha\beta}$. En este caso$F^{\alpha\beta}$reduce a

$$\begin{bmatrix} 0 & \frac{E}{c} \\ -\frac{E}{c} & 0\end{bmatrix}.$$ Dejar $U_{\beta}=(u_0,u_1)$, entonces $p^{\alpha}=m_0(u_0,u_1)$, entonces tenemos $$\left(\begin{array}{cccc}m_0\dot u_0&\\m_0\dot u_1\end{array}\right)=q\left(\begin{array}{cccc}0&-\frac Ec&\\\frac Ec&0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{cccc} u_0&\\u_1\end{array}\right).$$ Desde $$m_0\dot u_1=q\frac Ecu_0,$$ $$u_1=\frac{-m_0\dot u_0c}{qE},$$ obtenemos $$m_0(\frac{-m_0\ddot u_0c}{qE})=\frac{qE}cu_0,$$ $$\ddot u_0+\frac{q^2E^2}{m_0^2c^2}u_0=0.$$ El polinomio característico es $$r^2+\frac{q^2E^2}{m_0^2c^2}=0.$$ Obviamente el determinante es negativo y $u_0$es una función trigonométrica del tiempo propio $\tau$. También se puede deducir que $u_1$es el mismo tipo de función. Pero claramente este no es el caso. Espero que alguien pueda decirme dónde lo hice mal.