Cálculo de TμνTμνT^{\mu\nu} a partir de la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}

Question

Cálculo de TμνTμνT^{\mu\nu} a partir de la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}

Física
notación
tensor-métrico
diferenciación
formalismo lagrangiano
tensión-energía-momentum-tensor

Sofía

Estoy tratando de entender cómo se conectan los índices superior e inferior al calcular el tensor de energía-momento. En particular, encontré el problema simple donde la densidad de Lagrange se da como

L = \frac{1}{2} η_{m v} (\partial^{m} ϕ) (\partial^{v} ϕ) - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2}

$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial^{\mu}\phi)(\partial^{\nu}\phi)-\frac{1}{2}m^2\phi^2$ y quiero calcular el tensor de energía-momento

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ . Comenzando con la relación

T^{m v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial^{v} ϕ - η^{m v} L

$T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial^{\nu}\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}$ uno puede encontrar

{T_{μ}}^{ν} = η_{μ ν} T^{μ ν}

${T_{\mu}}^{\nu} = \eta_{\mu\nu} T^{\mu\nu}$ y luego volver a

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ a través de

T^{μ ν} = η^{ν μ} {T_{μ}}^{ν}

$T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\mu} {T_{\mu}}^{\nu}$ .

Mis preguntas son las siguientes:

¿Hay alguna diferencia entre $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ y $\frac{\partial}{\partial(\partial^{\mu}\phi)}$ , y si es así, ¿cómo se calcula $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)} \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial^{\mu}\phi)(\partial^{\nu}\phi)$ ?
¿Qué sucede con el término $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial^{\nu}\phi$ al multiplicar por $\eta_{\mu\nu}$ ? ¿Debería moverse algún índice? Mi entendimiento actual es que primero necesito encontrar una expresión para esto que no involucre $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ y luego simplemente mueva todos los índices superiores $\mu$ abajo.

Como probablemente puede adivinar, soy muy nuevo en este tipo de notación y agradecería mucho cualquier ayuda.

Respuestas (1)

Cálculo de TμνTμνT^{\mu\nu} a partir de la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}

jamals · Answer 1

Al contratar con la métrica $\eta_{\mu\nu}$ uno tiene explícitamente,

η_{m v} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial^{v} ϕ = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ)} \partial^{0} ϕ - \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{i} ϕ)} \partial^{i} ϕ

$\eta_{\mu\nu} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi = \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_0 \phi)} \partial^0 \phi - \sum_{i=1}^3\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i \phi)} \partial^i \phi$

Para el otro término, se tiene,

\frac{1}{2} η_{m v} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial^{m} ϕ \partial^{v} ϕ = \frac{1}{2} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ)} (\partial^{0} ϕ)^{2} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{i} ϕ)} (\partial^{i} ϕ)^{2})

$\frac12 \eta_{\mu\nu} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi = \frac12 \left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_0 \phi)} (\partial^0 \phi)^2 - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i \phi)} (\partial^i \phi)^2 \right)$

Nota: la convención métrica es $\eta = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ .

Cálculo de TμνTμνT^{\mu\nu} a partir de la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}

Sofía

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jamals

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