Tensor de energía-momento de Schwarzschild

Si conoce el tensor métrico, puede calcular el tensor de Ricci y el escalar de Ricci a partir de su definición y conectarlos a la ecuación de campo de Einstein para obtener el tensor de tensión-energía.

$T_{\mu\nu} = \frac{c^4}{8\pi G}(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})$

En el caso de la métrica de Schwarzschild, es una solución de la ecuación de vacío de Einstein, por lo que el tensor de tensión-energía es nulo en todos los lugares donde se define la métrica (por ejemplo, fuera del cuerpo masivo esféricamente simétrico que genera el campo).

ADDENDUM: si en cambio no conoces la métrica, el problema es mucho más complicado. Si asumes que:

• el cuerpo es esféricamente simétrico
• hecho de fluido perfecto isotrópico
• en equilibrio hidrostático

entonces tienes que resolver la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff .

Si sabes que en la ecuación de estado la presión depende únicamente de la densidad (como en un gas politrópico), la solución está completamente determinada por:

• ecuación de masa:$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho$
• Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
• ecuación de estado$P=P(\rho)$

Una vez que resuelve este sistema de EDO, tiene los perfiles de presión y densidad$P(r)$y$\rho(r)$. Luego puede escribir el tensor de tensión-energía del fluido perfecto en el sistema de referencia en el que el fluido está estacionario como

$T^{\mu\nu} = diag(\rho,P,P,P)$

Desafortunadamente, estas suposiciones no siempre se cumplen. Son buenos para describir objetos degenerados compactos como las estrellas de neutrones, pero no sirven para describir estrellas, donde la contribución de presión proporcionada por la energía liberada por las reacciones nucleares es esencial.

Por otro lado, las estrellas y los planetas pueden describirse muy bien como objetos no relativistas. Un tratamiento clásico podría simplificar un poco las cosas, o complicarlas enormemente, dependiendo del nivel de detalle que se quiera alcanzar. Vea las ecuaciones de la estructura estelar para tener una idea de este fascinante tema.

Una última palabra sobre los agujeros negros de Schwarzschild, su tensor de tensión-energía es muy simple. Como ya se dijo, es nulo en todas partes excepto en la singularidad.

El tensor de tensión$T^{\mu\nu}$es cero en todas partes de la métrica de Schwarzschild excepto en la singularidad.