Superposición de ondas no lineales

Las ondas no lineales no se superponen entre sí, pero ¿por qué? ¿Qué características le dan a esta propiedad?

Ummm... no lo hacen por definición . Si tiene alguna otra definición de "no lineal" en mente, debe indicarla. De lo contrario, esto es equivalente a preguntar "¿qué característica de los números positivos los hace mayores que 0?"
@ChrisWhite Creo que este comentario debería ser una respuesta. La pregunta es "ingenua" (no lo digo despectivamente) pero buena en el sentido de que estoy seguro que muchos de nosotros hemos tenido los mismos pensamientos al comenzar a pensar en las características de las soluciones. Así que estoy seguro de que la pregunta de Raisa tendrá éxito, luego tu respuesta engendrará el ¡ajá! momento - "¡así que eso es lo que realmente significa lineal!". Demasiadas conferencias de física usan la palabra "lineal" sin definirla correctamente, y demasiadas conferencias de matemáticas tienen todas las definiciones pero dejan una sensación de desconcierto, hasta que un simple ejemplo muestra "para qué sirve".

Respuestas (4)

Retrocedamos por un segundo. Antes de entrar en las complejidades de las ondas no lineales, preguntémonos qué es una onda lineal . En realidad, retrocedamos aún más y preguntemos "¿qué queremos decir cuando decimos lineal ?"

"Lineal" proviene del estudio de cosas como espacios vectoriales . Tenemos objetos (llámelos vectores, flechas o lo que sea) que se pueden sumar y escalar por un número, con el resultado de ser otro objeto del mismo tipo. Cualquier colección de objetos que satisfaga ciertas condiciones (que básicamente se reducen a "la suma y la multiplicación escalar se comportan como se esperaba") puede considerarse un espacio vectorial.

Ahora hablemos de las ondas. Pero para simplificar las cosas, hablemos del efecto de algunas ondas en un solo punto, donde el efecto puede cambiar con el tiempo. Una ola puede tener un valor ψ 1 ( t ) = pecado ⁡ ( ω 1 t ) en este punto. Otro podría tener una frecuencia diferente: ψ 2 ( t ) = pecado ⁡ ( ω 2 t ) . Supongamos que escalamos las ondas por factores de a y b , y supongamos que tenemos ambos afectan el punto juntos. Si los efectos de las ondas simplemente escalan y se suman de manera sensata, entonces el valor de la onda combinada en el punto será

ψ ( a ⊗ 1 ) ⊕ ( b ⊗ 2 ) ( t ) ≡ a pecado ⁡ ( ω 1 t ) + b pecado ⁡ ( ω 2 t ) = a ψ 1 ( t ) + b ψ 2 ( t ) .
Aquí estoy usando el símbolo " ⊗ " para significar "escalado físicamente por el factor anterior" y " ⊕ " para significar "combinado físicamente". En este caso particular, ⊗ y ⊕ reducido a la multiplicación escalar sensible del valor de la onda y la suma regular de los valores de dos ondas. Las llamamos ondas "lineales". Una de sus características es que puedes pensar que las ondas no interactúan ψ 2 sumará su efecto al total de la misma manera, independientemente de la amplitud ψ 1 ya ha contribuido.

Pero no tenía que tener esa estructura. En algunos casos, impulsar un desplazamiento físico con el doble de fuerza no da como resultado el doble de desplazamiento, y tener dos fuerzas impulsoras diferentes trabajando juntas no da como resultado una fuerza que proporcione un desplazamiento que sea la suma de los desplazamientos independientes. Por ejemplo, tal vez la regla sea

ψ ( a ⊗ 1 ) ⊕ ( b ⊗ 2 ) ( t ) ≡ a pecado ⁡ ( ω 1 t ) + b pecado ⁡ ( ω 2 t ) ≠ a ψ 1 ( t ) + b ψ 2 ( t ) .
Esto entonces sería una onda no lineal . Se definen teniendo la definición de cómo se escalan las perturbaciones ( ⊗ ) y combinar ( ⊕ ) ser incompatible con la multiplicación escalar y la suma regular de los valores de las ondas. Es decir, nuestras definiciones físicas de ⊗ y ⊕ no produjo la estructura de un espacio vectorial, al menos no de manera obvia.

La pregunta de física que queda entonces es si esta situación se realiza realmente o no. La discusión anterior define las ondas no lineales, pero no prueba que tales cosas existan. Sin embargo, resulta que muchas ondas importantes para la física muestran un comportamiento no lineal si las empujas lo suficiente. El ejemplo clásico en óptica es cuando la amplitud de una onda electromagnética es tan grande que los electrones en los átomos cercanos (pensando aquí de manera clásica) son empujados y atraídos bastante lejos de la distancia del "punto ideal" que quieren tener desde sus núcleos. Entonces, la fuerza restauradora que los empuja de regreso a ese punto dulce no es simplemente directamente proporcional a su desplazamiento, su movimiento es anarmónico y la onda se vuelve no lineal.

Entendí en su mayoría, está bien, entonces, ¿cómo diferenciamos dos ondas no lineales "llamadas oscilones" y "soluciones"?
@Raisa Eso suena como el comienzo de otra pregunta que podría publicar: no soy un experto en ninguno de esos fenómenos.
@Raisa: los oscilos y los solitones son dos tipos específicos de ondas no lineales. Los solitones se consideran no lineales en parte porque su velocidad de fase depende de la amplitud y su escala espacial. Creo que las principales diferencias entre los dos son que los oscilones son soluciones en medios granulares, pueden cambiar de forma cuando chocan con otros oscilos y los oscilos pueden ser ondas estacionarias. En términos generales, los solitones son soluciones de ecuaciones similares a KdV.

Las ondas no lineales no se superponen con una regla trivial como F ( a ) + F ( b ) = F ( a + b ) , pero obviamente se superponen de forma no lineal. Para ciertas ecuaciones de onda no lineales, se puede definir un grupo de Lie para soluciones, tal que para soluciones ψ a y ψ b , una nueva solución GRAMO ( ψ a , ψ b ) se puede construir Esta nueva solución puede entenderse como una superposición. El álgebra de Lie se usa luego en la variante no lineal de la transformada de Fourier, que se llama Transformada de dispersión inversa . Esta es un área de investigación activa, pero altamente especializada.

¿Tiene una buena referencia para leer más sobre cómo se puede definir un grupo de Lie para soluciones de ecuaciones no lineales que obedecen a una superposición no lineal?
@N.Steinle No puedo encontrarlo en este momento, pero recuerdo que comenzó como un análisis de perturbación en torno a una solución existente, luego procedí a encontrar restricciones en los términos de perturbación de modo que la variación sobre la solución existente también fuera una solución (bajo algunos muy débiles supuestos, esto también requería que existiera un cierto vacío o una solución trivial para la onda no lineal, lo cual es cierto para la mayoría de los casos interesantes) y de esto se siguieron ciertas relaciones en los parámetros estructurales

Comencemos con las ondas lineales . Se derivan de una ecuación diferencial de la forma

W ^ ψ ( X → , t )

dónde W ^ es un operador lineal, por ejemplo ( ∂ t 2 − Δ ) . Esto significa que para la suma de dos funciones ψ 1 y ψ 2 simplemente puede usar la regla de distribución

W ^ ( ψ 1 + ψ 2 ) = W ^ ψ 1 + W ^ ψ 2

Así que si ψ 1 , 2 cada uno resuelve la ecuación, su suma también lo hace y así obtienes la superposición.

Ahora, un sistema no lineal es cualquier sistema que no se puede escribir en esta forma simple. Esto significa que, en general , la suma de dos soluciones de una ecuación no lineal ya no es una solución también.

Sin embargo , a menudo existen soluciones especiales llamadas solitones que no solo resuelven la ecuación no lineal por sí mismas, sino también en su suma. Esto se debe básicamente a los efectos de fricción que compensan los efectos de no linealidad de esas soluciones. Por lo tanto, no es del todo correcto afirmar que el sistema no lineal no muestra superposición en absoluto ; la afirmación correcta es

En los sistemas no lineales no se pueden superponer todas las soluciones posibles para obtener nuevas soluciones, pero puede haber Solitones

Como nota al margen, esto generalmente significa que ni siquiera puede volver a escalar la solución de un sistema no lineal para obtener una nueva solución.

bien, entonces, ¿cómo diferenciamos dos ondas no lineales "llamadas oscilones" y "soluciones"?
@Raisa Esa podría ser casi una nueva pregunta separada ... Bueno, como dice el artículo de Wikipedia de Oscillon : "un oscillon es un fenómeno similar a un solitón" y "Mientras que los solitones ocurren como ondas viajeras en un fluido o como ondas electromagnéticas en una guía de ondas los oscilones pueden ser estacionarios", es decir, básicamente un solitón se mueve mientras que un oscilón no

Un ejemplo sencillo de por qué las funciones lineales no obedecen a la superposición es la propiedad asociativa:

lineal:

hacha + bx = (a+b)x

de este modo

f(a) + f(b) = f(a+b)

no lineal:

sen(ax) + sen(bx) != sen(ax+bx)

de este modo

f(a) + f(b) != f(a+b)

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