¿Son posibles las órbitas en el espacio de sitter?

La respuesta de Couchyam es para el espacio de Sitter no deformado, vacío si se quiere. Así que no hay órbitas en eso.

Lo que estás preguntando es si uno pone un objeto de la masa de la tierra en un espacio de De Sitter, ¿podrían los objetos de la masa de la luna orbitar alrededor de la tierra?

Parecería que la masa similar a la Tierra seguiría un camino prescrito, pero dado que es una regla en la Relatividad General que cualquier pequeña porción de espacio es plana, la cosa similar a la Luna puede orbitar alrededor de la Tierra.

De hecho, es probable que nuestro universo esté bien modelado por un espacio de sitter: https://en.wikipedia.org/wiki/De_Sitter_universe , por lo que es obvio que las órbitas pueden existir.

Hay que tener cuidado con las definiciones aquí. Decir que nuestro universo es un espacio de De Sitter es solo una aproximación. Ahí es donde entra la respuesta de Couchyam: para un verdadero espacio exacto de De Sitter, que es necesariamente suave y sin rasgos distintivos y solo se permiten pequeñas partículas de prueba que se desvanecen.

También puede ver el caso límite en un universo grumoso de De Sitter en el que estamos. Si toma un espacio-tiempo completamente plano, entonces cualquier cosa puede orbitar cualquier otra cosa a cualquier distancia, pero con un universo de De Sitter en algún punto la expansión sería rasgar las órbitas extremadamente débilmente unidas aparte.

Asumiré que está preguntando sobre geodésicas en de Sitter (si los objetos contribuyen al tensor de energía-momento, perturban la métrica y realizan órbitas).

El espacio de De Sitter se puede considerar como el conjunto de puntos en el espacio de Minkowski de 4+1 dimensiones que satisfacen

$$X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2=1+X_0^2.$$ Secciones transversales de constante $X_0$son 3 esferas, por lo que podría pensar que las geodésicas nulas o similares al tiempo pueden moverse en órbitas alrededor del espacio-tiempo. Sin embargo, si comienza en un cierto valor de coordenadas comóviles (digamos en $S^3$), resulta que no hay una geodésica temporal o nula que regrese a su punto de partida. La forma más fácil de ver esto es a través de un diagrama de Penrose para De Sitter.

El diagrama de Penrose para de Sitter se muestra a continuación: (de Les Houches 2001 )

Los diagramas de Penrose codifican la estructura causal del espacio-tiempo. Cada punto en de Sitter corresponde a un punto en el cuadrado de arriba, y las líneas diagonales en$45^\circ$los ángulos corresponden a las líneas de mundo de las geodésicas nulas o rayos de luz. Dos rayos de luz se muestran arriba, yendo desde la línea$I^-$a$I^+$. El 'Polo Norte' y el 'Polo Sur' son puntos antípodas en$S^3$, mientras$I^+$y$I^-$corresponden a puntos en el futuro infinito y el pasado infinito (si lo desea, puede pensar en estos como clases de equivalencia de geodésicas similares al tiempo). Por lo tanto, un rayo de luz tiene 'el tiempo justo' en el tiempo de vida de un universo de De Sitter para viajar desde$\theta=0$a$\theta=\pi$, y no puede volver a su posición original de movimiento en$\theta=0$. De hecho, está claro que cualesquiera dos geodésicas temporales que intenten dar la vuelta$S^3$se intersecarán como máximo una vez.