¿Son las características la única solución a la ecuación de advección en 1+1D?

Actualmente estoy leyendo sobre dinámica de fluidos y el problema de Riemann, y una ecuación muy utilizada para introducir el tema es la ecuación de advección 1+1D con coeficiente constante$v$:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} = 0\tag{1}$$

para el cual una solución es

$$u(x,t) = u(x-vt, 0) = u_0(x-vt)$$ dónde$u_0 = u(t=0)$es alguna condición inicial.

Esto se puede derivar fácilmente usando el método de separación de variables: Sea$u(x,t) = f(x)g(y)$. Entonces

$$\frac{\partial u}{\partial t} = f(x) \frac{\partial g}{\partial t}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = g(t) \frac{\partial f}{\partial x}$$ Insertando en la ecuación de advección y reestructurando un poco, obtenemos

$$\frac{1}{g } \frac{\partial g}{\partial t} = \frac{1}{f}\frac{\partial f}{\partial x} = -\lambda$$

dónde$\lambda$es una constante. Resolviendo cada ecuación por separado nos da

$$g = K_1 e^{-\lambda v t}$$ $$f = K_2 e^{\lambda x}$$ $$\Rightarrow u(x,t) = fg = K e^{\lambda (x - vt)}$$

con$K_1$,$K_2$y$K=K_1 K_2$son constantes derivadas de la integración. Con

$$u_0 = u(x,t=0) = K e^{\lambda x}$$ uno puede ver fácilmente que la solución se puede expresar como $$u(x,t) = u_0(x-vt)$$

Hasta ahora, todo bien. Aquí está mi pregunta: ¿Es esa la única solución de la ecuación de advección 1+1D con coeficientes constantes? ¿Hay alguna prueba de que esta es la única solución?