¿Cómo pueden estar en fase las fluctuaciones de presión y velocidad en las ondas planas acústicas y aun así mantener el BC de que la velocidad debe ser cero en una pared sólida?

Supongo que te refieres a lo que sucede cuando una onda plana de este tipo se propaga paralelamente a una superficie sólida. Tiene razón en que, estrictamente hablando, la velocidad de las partículas acústicas, al igual que la velocidad media del flujo, debe obedecer a la condición de no deslizamiento en la pared. Los efectos viscosos se vuelven importantes solo muy cerca de la pared, de modo que los movimientos acústicos ya no están suficientemente descritos por la ecuación de onda clásica, ya que están lejos de la pared.

Considere una onda plana del tipo que especificó viajando junto a una pared. Las ecuaciones linealizadas de cantidad de movimiento y energía pueden escribirse así:

$$\bar{\rho}\frac{\partial u'}{\partial t} + \frac{\partial p'}{\partial x} = \mu\frac{\partial^2 u'}{\partial y^2}$$

$$\bar{\rho}c_p\frac{\partial T'}{\partial t} - \frac{\partial p'}{\partial t} = k\frac{\partial^2 T'}{\partial y^2}$$

Recuerde que en la teoría de la capa límite normal despreciamos el gradiente de presión normal a la pared con la hipótesis de que la capa límite es delgada. Entonces, aunque la velocidad cambia considerablemente en toda la región, la presión permanece aproximadamente en su valor de flujo libre en todo momento. Esta es una de las suposiciones cruciales de la teoría de la capa límite en general, y hemos escrito las ecuaciones de la capa límite acústica anteriores bajo la misma suposición.

Siguiendo el argumento de la presión, podemos reemplazar el$\partial p'/\partial x$término con la tasa de cambio del momento acústico debido a la onda en la corriente libre. Asimismo, podemos establecer la presión acústica a la de la onda de flujo libre en la ecuación de energía:

$$\bar{\rho}\frac{\partial u'}{\partial t} - \bar{\rho}\frac{\partial u'_\infty}{\partial t} = \mu\frac{\partial^2 u'}{\partial y^2}$$

$$\bar{\rho}c_p\frac{\partial T'}{\partial t} - \frac{\partial p'_\infty}{\partial t} = k\frac{\partial^2 T'}{\partial y^2}$$

Ahora, suponiendo que todas las cantidades varían armónicamente como$e^{i\omega t}$, podemos desarrollar soluciones analíticas para la velocidad y la temperatura de las partículas acústicas dentro de la capa límite:

$$u(y) = u_\infty [1 - e^{-(1+i)y/\delta_u}]e^{i\omega t}$$

$$T(y) = T_\infty [1 - e^{-(1+i)y/\delta_T}]e^{i\omega t}$$

dónde$\delta_u =\sqrt{2\mu/\bar{\rho}\omega}$y$\delta_T = \delta_u/\sqrt{Pr}$son, respectivamente, los espesores de la capa límite de los campos de velocidad y temperatura. A continuación se muestra una animación para una frecuencia de onda de flujo libre de 30 Hz y Pr = 1,5 para comprender mejor estas soluciones. De hecho, muy cerca de la pared vemos efectos de retardo en la velocidad que hacen que esté desfasada con la velocidad (y, por lo tanto, con la presión) en la corriente libre. Los vectores de velocidad están en azul y la temperatura en rojo.

Si esto no era exactamente a lo que se refería su pregunta, pido disculpas por malinterpretarla.

Las condiciones de contorno solo determinan cómo se refleja esa cantidad. La onda de presión se refleja en fase y la onda de velocidad se refleja fuera de fase.

Lo que notó es que para una onda de sonido que viaja hacia adelante, las fluctuaciones de alta presión corresponden a la velocidad de avance de las partículas. Cuando la onda se refleja, la velocidad de esas regiones de alta presión debe invertirse para que la onda pueda ir en la otra dirección.

La ecuación de onda unidireccional trata solo con ondas que viajan en 1 dirección. Sin embargo, como el sonido sufre reflexión, la dirección de propagación de la onda se invierte. Por lo tanto, el sistema ya no sigue la ecuación de onda gobernante anterior. En cambio, sigue la ecuación de onda con la velocidad invertida. La diferencia de fase entre la presión y la velocidad es 180 allí.

Para acomodar ambas direcciones de propagación, la ecuación gobernante es una ecuación de onda de segundo orden, que permite la diferencia de fase de 0 y 180