¿Son equivalentes las formas cilíndrica y esférica de las ecuaciones de Jeans?

Las ecuaciones de Jeans pueden ser un poco complicadas. Su forma más simple (en coordenadas cartesianas, sin suposiciones particulares) es:

Resumiendo rápidamente la notación,$x_i$y$v_i$son las componentes de la posición y la velocidad, respectivamente y$\sigma_{ij}$son componentes del tensor de dispersión de velocidad.$\nu$es la densidad espacial.$\Phi$es el potencial.

El problema con las ecuaciones de Jeans es que, suponiendo que conozca los campos de potencial y densidad, las ecuaciones anteriores proporcionan solo 4 restricciones (observe que la segunda ecuación es, de hecho, una expresión condensada de tres ecuaciones independientes) sobre 9 funciones desconocidas (3 componentes de$\mathbf{\bar v}$y 6 componentes independientes de$\mathbf{\sigma^2}$). Por lo tanto, las ecuaciones no se pueden resolver sin restricciones adicionales.

Galactic Dynamics deriva formas cerradas (es decir, que en principio pueden resolverse) de las ecuaciones de Jeans para dos casos especiales. Para un sistema esféricamente simétrico, las suposiciones utilizadas son:

• El sistema está en un estado estable (independiente del tiempo).
• El sistema es esféricamente simétrico, por lo que la función de distribución es de la forma$f=f(H,\mathbf{L})$

Para un sistema axialmente simétrico, las suposiciones utilizadas son:

• El sistema está en un estado estable (independiente del tiempo).
• El sistema es axisimétrico.
• La función de distribución es de la forma$f = f(H,L_z)$.

Los supuestos se usan en cada caso para argumentar que varias derivadas (diferentes en cada caso) desaparecen, así como algunos otros términos, por lo que las ecuaciones obtenidas no son equivalentes y se cumplen solo para sistemas donde los supuestos utilizados para derivarlos son válidos. No me voy a molestar en escribir las ecuaciones obtenidas porque, sinceramente, es un poco complicado. Si quieres los detalles sangrientos, busca una copia de Galactic Dynamics...

Por supuesto, también podría simplemente hacer transformaciones de coordenadas en las ecuaciones originales de Jeans, en cuyo caso obtendría ecuaciones que son equivalentes, pero esto no es lo que la gente suele decir con 'ecuaciones de Jeans para sistemas esféricos' o 'ecuaciones de Jeans para sistemas axisimétricos' .