Solución matricial de un problema de circuito de resistencia equivalente

Bueno, seguramente puedes calcularlo usando operaciones matriciales. Pero no será muy natural. En su lugar, permítame brindarle una solución muy similar (basada en una matriz similar) que, con suerte, encontrará útil. No es nada nuevo (Kirchhoff, 1847) pero creo que no es muy conocido. Lo aprendí por primera vez en este artículo de revisión de Wu del modelo de Potts , p. 252. Permítanme reproducir los puntos principales de la derivación.

Escribe$U_i$por el potencial del sitio$i$y$I_i$para la corriente externa que fluye hacia el sitio$i$. Entonces la ecuación de continuidad nos da$I_i = \sum_{j \neq i} C_{ij} (U_i - U_j)$que se puede reescribir como$I_i = \sum_j A_{ij} U_j$con

Ahora se puede proceder directamente a resolver para$U_i$, dados los flujos de corriente externa. Pero resulta que gracias a las propiedades especiales de la matriz$A$(Observe que las entradas de suma de cada fila dan cero) se puede decir más. Resulta (lea el documento para más detalles) uno puede expresar la resistencia equivalente entre puntos$k$y$l$como

El último comentario (no relacionado directamente con su pregunta, pero sería una pena no mencionarlo ahora) es que esos determinantes se pueden interpretar naturalmente como polinomios de árbol de expansión en$C_{ij}$en el gráfico dado$G$(con o sin$(kl)$borde) y esto a su vez se puede calcular directamente a partir de la función de partición de$q \to 0$límite de la$q$-estado del modelo de Potts en dicho gráfico$G$con pesos en los bordes relacionados con sus resistencias.