Sobre la velocidad de los electrones de Bloch

En un cristal, la función de onda de un electrón satisface la ecuación

H ψ norte , k ( X ) = mi norte ( k ) ψ norte , k ( X ) ,
dónde norte es el índice de banda y k es el vector de onda reducido. Por lo tanto, la función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger debe ser
ψ ( t ) = ψ norte , k ( X ) mi − i mi norte ( k ) t / ℏ .

La velocidad media del electrón se define como

v = d d t ⟨ ψ ( t ) | X | ψ ( t ) ⟩ .

En el libro de texto, la velocidad está relacionada con el gradiente de la mi norte ( k ) con respecto al vector de onda, es decir,

v = 1 ℏ ∂ k mi norte ( k ) .
Por lo tanto, los electrones se mueven para siempre si el parcial no es cero.

Sin embargo, si calculamos directamente la velocidad

v = d d t ∫ d X ψ norte , k ∗ ( X ) mi i mi norte ( k ) t / ℏ X ψ norte , k ( X ) mi − i mi norte ( k ) t / ℏ = 0.

¿Dónde estoy equivocado?

Dado que las funciones de Bloch son soluciones invariantes en el tiempo que se extienden por todo el cristal, ¿por qué asumiría que hay una velocidad neta asociada con una?
Yo también estoy confundido. Si calculamos la velocidad de la siguiente manera, v =< ∂ t ψ ( t ) | X | ψ ( t ) > + < ψ ( t ) | X | ∂ t ψ ( t ) >= i < ψ ( t ) | [ H , r ] | ψ ( t ) >=< ψ ( t ) | pag | ψ ( t ) > / metro , dónde pag = − i ∂ X
Puedes comprobar eso v puede ser distinto de cero utilizando la fórmula anterior. Considerar H = pag 2 / ( 2 metro ) y el estado propio mi i pag X . @Jon Custer

Respuestas (1)

Creo que la respuesta simple aquí es que metro d d t ⟨ X ⟩ ≠ ⟨ pag ⟩ . El primero es proporcional a la tasa de cambio del valor esperado de la posición, y el segundo es el valor esperado del momento mecánico-cuántico. Son diferentes en formas sutiles pero importantes.

Mire el ejemplo más simple de lo que podría ser una función de onda de bloque: el estado propio de impulso | ψ ⟩   mi i ( k X − ω t ) . Es un estado propio de momento con valor propio de momento ℏ k como se esperaba:

pag | ψ ⟩ = pag mi i ( k X − ω t ) = − i ℏ d d X mi i ( k X − ω t ) = ℏ k | ψ ⟩

Sin embargo,

d d t ⟨ X ⟩ = d d t ∫ todo mi i ( k X − ω t ) X mi − i ( k X − ω t ) d X = d d t ∫ todo X d X = 0
Claramente, la integral no se comporta bien, lo que podría preocuparle, pero también es evidente que no depende del tiempo, por lo que creo que es justo llamarlo cero. Los físicos más versados ​​en matemáticas podrían tener algo más inteligente que decir sobre la divergencia de la integral. De todos modos, claramente no es ∝ k . Esto tampoco es una sorpresa por varias razones.

  • Es genéricamente cierto que para cualquier estado propio de energía | ψ ⟩ , d d t ⟨ X ⟩ = 0 , esto se deduce de la definición de un estado propio de energía. Para casos de mejor comportamiento, esto generalmente implica que la distribución de momento del estado propio debe ser uniforme (eso probablemente se puede atribuir solo a pag 2 que aparece en la energía cinética), pero en el caso de que la función de onda se extienda hasta el infinito, la relación anterior se mantiene incluso para distribuciones de momento desiguales.
  • Las funciones de onda de Bloch oscilan hasta el infinito, por lo que la posición esperada (es decir, su integral antes de tomar la derivada) no está bien definida. Por lo tanto, parece inadecuado tratar de definir una velocidad basada en el cambio en la posición esperada. Esta definición es muy clásica: describe cómo evolucionan sus medidas con el tiempo. La posición de la partícula no evoluciona con el tiempo porque en t=0, la partícula está en todas partes, y en t = t 0 , la partícula todavía está en todas partes.
Hay una fórmula en el libro de Messiah "Quantum Mechanics" (página 319), que establece d d t < A >= d d t < ψ H | A H | ψ H >=< ψ H | d A H d t | ψ H > , donde el subíndice H significa la imagen de Hersenberg. De la fórmula se sigue que d d t < ψ ( t ) | X | ψ ( t ) >=< ψ ( t ) | pag | ψ ( t ) > .
Señalando que d d t X H = i [ hamiltoniano , X H ] = pag H / metro , se puede derivar la igualdad. Creo que el problema puede ser que la integral < ψ ( t ) | X | ψ ( t ) > es divergencia, ya que se considera que el cristal tiene un tamaño infinito. Sin embargo, entonces es difícil imaginar lo que sucede con un cristal grande finito. Para uno finito, la integral puede estar bien definida, por lo que el problema surge nuevamente. @aquirdturtle
He pensado en esto un poco más y he desarrollado mejor mis pensamientos anteriores.
Estás tratando de usar una relación en la imagen de Heisenberg para justificar lo mismo en la imagen de Schrödinger. Qué es X H ( t ) en el cuadro de Heisenberg? No he probado esto, pero sospecho que encontrará un comportamiento mal definido o encontrará que tomar su derivado parece llegar a cero de todos modos.
también, por cierto, puede usar \rangle y langle para la notación de sujetador y ket. p.ej ⟨ A ⟩ contra < A >
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