¿Qué derivación de la velocidad de deriva es correcta?

Los valores que proporciona para la velocidad de deriva son de una aproximación primitiva, que no tiene en cuenta correctamente la naturaleza estadística del movimiento. La colisión no aleatoriza la velocidad inmediatamente, ni es cierto que haya colisiones discretas, las colisiones de una partícula clásica en un medio denso suceden más o menos continuamente, a medida que la partícula empuja a otras, y este empujón no es fácil de describir.

Entonces, la velocidad que obtienes de estas ecuaciones son solo estimaciones de orden de magnitud, no se supone que deben tomarse demasiado en serio, solo te dan una idea aproximada de cómo se mueven las partículas cargadas. En este sentido, las dos respuestas son iguales, porque las únicas difieren por un factor de 2. Ninguna de las dos es correcta.

Es importante decir de inmediato que esta idea clásica del asiento de los pantalones es completamente incorrecta para los electrones en los metales, solo es aproximadamente válida para algo como la conducción iónica, por ejemplo, la conducción de corriente en agua salada mediante la deriva de Na+ y Cl- iones en solución, depositándose en los dos electrodos. También es más válido cuando las partículas son más grandes, como iones moleculares cargados en solución, mucho más grandes que las moléculas de agua. El movimiento de los electrones en los metales es altamente cuántico, los electrones forman un gas de Fermi frío, y este gas no puede describirse de ninguna manera mediante la deriva térmica polarizada clásica, ni siquiera como una aproximación aproximada.

Pero para la conducción iónica de moléculas grandes, el modelo clásico de deriva aleatoria es correcto, ya que a temperatura ambiente, el movimiento de los iones en solución es clásico. Dentro de este modelo, es apropiado preguntarse si la velocidad de deriva de los iones es igual a${e\over m} \tau E$o la mitad de este valor, o el doble de este valor.

Pero para dar una respuesta, necesita una mejor definición del parámetro.$\tau$que "el tiempo medio entre colisiones". Esta definición solo está bien para la intuición y para estimaciones de orden de magnitud. La definición adecuada de$\tau$es como la tasa de relajación de la velocidad, la tasa de decaimiento exponencial de la información sobre la velocidad del ion en el tiempo. Si tienes una velocidad$v$en los iones, te dice cómo se aleatoriza la velocidad de los iones.

La única razón por la que existe tal parámetro es porque el proceso de colisión aleatoria de un ion clásico (o cualquier partícula clásica en un fondo térmico) puede describirse bien mediante una ecuación estocástica. Esto fue descubierto por Einstein y Smoluchowski en 1905. Las ecuaciones estocásticas generalmente se consideran algo más avanzadas que la descripción elemental en términos de la ruta libre media, pero son la única forma de responder una pregunta sobre factores, como su pregunta, donde una media- la descripción del camino libre es inadecuada.

En una descripción estocástica, asume que tiene una distribución de probabilidad de la velocidad del ion en el momento inicial y pregunta cómo cambia la distribución de probabilidad en el tiempo, en una escala de tiempo larga en comparación con el tiempo de colisión. La ecuación que te dice esto es una ecuación diferencial parcial conocida como la ecuación de Fokker Planck:

$${\partial_t \rho(v)} = -\partial_x ( D\partial_x\rho - {1\over\tau} v \rho)$$

El significado de esta ecuación se puede aclarar pensando en ella como una ecuación actual: está diciendo que cuando tienes una densidad de probabilidad$\rho(v)$a cierta velocidad$v$, esta densidad de probabilidad tiende a moverse a menor$v$(el segundo término entre paréntesis a la derecha), con una constante de tiempo$\tau$, y si hay un gradiente de probabilidad, tiende a suavizarse por difusión (el primer término de la derecha).

Para resolver la distribución estacionaria, hace que la probabilidad actual sea cero,

$$D\partial_v \rho - {1\over \tau} v \rho = 0$$

$$\rho \propto e^{- v^2\over 2\tau D}$$

Pero sabemos por los principios generales de la mecánica estadística que la distribución estacionaria de las velocidades de las partículas debería ser la distribución de Maxwell, que también es una Gaussiana:

$$\rho \propto e^{-mv^2\over 2kT}$$

Y esto lleva a una relación de Einstein:

$${1\over \tau D} = {m\over 2kT}$$

para que saber$\tau$determina la constante de difusión de la velocidad$D$:

$$D = {2kT \tau \over m}$$

Esto le dice la relación entre la velocidad a la que la velocidad decae (olvida su valor inicial) y el parámetro$D$, que te dice cómo se aleatoriza la velocidad.

Si aplica una fuerza a los iones, obtiene una deriva adicional en la corriente de probabilidad:

$$\partial_t \rho = \partial_x( {2kT\tau\over m}\partial_x - {1\over\tau} v \rho + {F\over m}\rho)$$

Puede encontrar la nueva distribución estacionaria y ver que es una gaussiana centrada en una nueva velocidad:

$$\rho(v) \propto e^{ - {m(v-v_d)\over 2kT}}$$

De esto, y del hecho de que la fuerza sobre un ion es$qE$, puedes encontrar la velocidad de deriva:

$$v_d = {qE\tau \over m}$$

El parámetro$\tau$por lo tanto, no es más que el análogo preciso del parámetro impreciso de "tiempo de colisión" que proporciona, y cuando un sistema clásico obedece a una ecuación de Fokker Planck (que suele serlo), encuentra esta relación.

No hay factores de 1/2 en esta ecuación, por lo que la referencia que encuentras no da esto. Pero el parámetro$\tau$ahora se define de manera diferente --- no es exactamente el tiempo hasta las colisiones, es la tasa de relajación de la velocidad.

Para entender esto mejor, puede dimensionar la ecuación: establezca la nueva unidad de tiempo en la ecuación de Fokker-Planck para que sea$\tau$, y la unidad de velocidad sea (sqrt de 2 veces) la velocidad térmica$2\sqrt{kT\over m}$. Entonces la ecuación asume la forma:

$$\partial_t \rho = \partial_v ({1\over 2} \partial_v\rho) - v\rho)$$

Esta ecuación se puede convertir matemáticamente en la ecuación de Schrödinger del tiempo imaginario escribiendo:

$$\rho(x) = e^{-v^2\over 2} \psi(x)$$

Esto da:

$$\partial_t \psi = - {1\over 2} \partial_v^2 \psi - (v^2 - {1\over 2}) \psi(v)$$

¿Cuál es la ecuación de Schrödinger del tiempo imaginario para una "función de onda" en$v$(esto es solo una analogía matemática que me permite usar los valores propios conocidos del EE, no es física. Se justifica por el hecho de que ambas ecuaciones se describen mediante una integral de trayectoria), con un potencial de oscilador armónico.

Los niveles de energía de este hamiltoniano son los valores propios del operador diferencial, y darían las energías en tiempo real, pero dan las tasas de decaimiento en tiempo imaginario. El cambio de variables de$\rho$a$\psi$no afecta los valores propios, por lo que la ecuación de Fokker-Planck en el tiempo tiene tasas de decaimiento que son números enteros. Entonces aprendes que la tasa de decaimiento es un múltiplo entero de la unidad de tiempo$\tau$.

Entonces el parámetro$\tau$tiene una interpretación como la tasa de decaimiento natural de pequeñas perturbaciones a la distribución de Maxwell Boltzmann. De esta manera, es una generalización natural del "tiempo hasta la primera colisión", es el parámetro principal que le indica cuánto tiempo antes de que la velocidad se aleatorice en el equilibrio térmico.

Formulación de ecuaciones estocásticas

Lo anterior se puede hacer más transparente si se permite un concepto algo más avanzado, el concepto de una función de ruido blanco. un ruido blanco$\eta(t)$es la derivada de un movimiento browniano. Es una función del tiempo que es completamente aleatoria en cada momento, por lo que su integral sobre cualquier intervalo es una variable aleatoria distribuida gaussiana de varianza igual al ancho del intervalo.

La mejor manera de definir esto libre de molestias matemáticas es hacer del tiempo un fino entramado de espacios.$\epsilon$, y entonces$\eta$es independientemente aleatorio en cada punto de la red, con una distribución de probabilidad que es gaussiana centrada en cero de ancho$1\over\sqrt{\epsilon}$.

$$\rho(\eta(x)) = e^{-{\eta(x)^2\over 2}\epsilon}$$

Multiplicando la probabilidad independiente en cada punto, obtienes una suma en el exponente y una distribución de probabilidad para cada colección de valores posibles de la función.$\eta$. Reemplazaré la suma por una integral, ya que la$\epsilon$está en el lugar correcto para hacer esto.

$$e^{-\int {\eta^2\over 2} dt }$$

En términos de este ruido aleatorio, la ecuación de movimiento de una partícula browniana es muy simple:

$$m{dv\over dt} = -{m\over \tau} v + \sqrt{2D}\eta$$

¡Eso es! Dice que la velocidad tiende a cero de acuerdo con una ley de fricción lineal, con constante de tiempo$1\over \tau$, y también recibe patadas aleatorias en cada instante de tiempo de tamaño$\epsilon$, cuyo tamaño es$\sqrt{2D\over\epsilon}$. La magnitud de las patadas diverge en diminutos$\epsilon$, pero es aleatorio en todas las direcciones, por lo que en su mayoría se cancela, y la energía promedio transferida a la partícula en equilibrio térmico durante un tiempo$\tau$es sobre$kT$(de forma aleatoria). La integral de trayectoria estadística sobre$\eta$reproduce la ecuación de Fokker Planck de la misma manera que la integral de trayectoria del Lagrangiano en mecánica cuántica reproduce la ecuación de Schrödinger.

Si tiene una fuerza externa, simplemente agréguela al lado derecho:

$$m{dv\over dt} = -{m\over \tau} v + qE + \sqrt{2D}\eta$$

El valor promedio de v es la velocidad de deriva, y se encuentra tomando un promedio a largo plazo de esta ecuación, donde todos los términos desaparecen excepto los proporcionales a$v$, que se convierten$v_d$, la velocidad de deriva promedio:

$$-{m\over\tau} v_d + qE = 0$$

A partir de esto, puede leer su relación. Puedes ver que el coeficiente$\tau$es la constante de tiempo para que decaiga una velocidad clásica. También puede ver que los detalles estadísticos no son importantes --- lo importante es que hay un límite de tiempo prolongado donde el promedio de la fuerza aleatoria es cero, y el promedio de la derivada temporal de$v$también es cero.

Me detendré y justificaré la afirmación de que el promedio de$\eta$y${dv\over dt}$ambos son cero durante largos períodos de tiempo. El promedio de$\eta$es cero por definición --- es una cantidad cuyo promedio sobre una ventana de tamaño T es proporcional a$\sqrt{T}$. El promedio de$dv\over dt$es la integral:

$${1\over T} \int_0^T dv = {v_f - v_i\over T}$$

y tanto la velocidad inicial como la final son del orden de la velocidad térmica y son constantes, mientras que$T$se hace largo.

La formulación de la ecuación estocástica es la más natural para este tipo de problemas.

Fermi gas frio

Usted preguntó acerca de los electrones, desafortunadamente, no las partículas de polen cargadas o los iones cargados en solución. Para el caso de los electrones, esta imagen clásica es completamente inaplicable.

En este caso, los electrones se mueven de forma cuántica, por lo que tienen números de onda reticulares.$k$y hacer una distribución de Fermi-Dirac a temperatura$T$que solo tiene una capa delgada de números de onda cerca del fermi$k$emocionado. Son solo estos electrones los que participan en la conducción.

Cuando aplica un voltaje, los electrones en números de onda cerca$k_f$ganan energía del campo y pierden energía al dispersarse, pero el proceso no es clásico en absoluto, porque los electrones no pueden pasar a un estado significativamente más pequeño que$k_f$, porque estos estados están ocupados, y tampoco pueden ir a un estado significativamente más alto que$k_f$, porque$kT$es mucho menor que la energía de Fermi en el sistema.

Entonces, estos electrones se mueven en ondas cuánticas que se ven obligadas a tener una velocidad definida y solo pueden cambiar de dirección en respuesta a las impurezas y los fonones. Este proceso de dispersión da lugar a la resistencia clásica, pero para calcular esto se requiere un tratamiento de mecánica cuántica y es una cuestión distinta de cualquier relajación de velocidad clásica.