Sobre el factorial N! en la función de partición

Question

Sobre el factorial N! en la función de partición

Física
función de partición
Partículas idénticas
mecánica estadística

Constantino negro

Después de leer estas publicaciones: ¿Por qué la función de partición se divide por $(h^{3N} N!)$ ? , ¿ Cuál es la resolución de la paradoja de Gibb? , y estos artículos: La paradoja de Gibbs y la distinción de partículas idénticas , La paradoja de Gibbs , entiendo que la división de la función de partición por $N!$ no tiene relación con el hecho de partículas idénticas.

Por lo tanto, pregunto: si la función de partición se da como un factor de normalización para la probabilidad de un sistema, es decir:

{pag}_{r} = \frac{{mi}^{- β ϵ_{r}}}{Z}

$p_r = {e^{- \beta \epsilon_r} \over Z}$ dónde

Z = \sum_{r} e^{- β ϵ_{r}}

$Z=\sum_r e^{- \beta \epsilon_r}$ , he leído que la función de partición total del sistema es

Z_{nene} = Z^{norte}

$Z_\text{tot} = Z^N$ dónde

N

$N$ el número total de partículas, por lo que podemos decir que la energía promedio total del sistema es

⟨ mi ⟩ = norte ϵ_{1}

$\langle E\rangle=N \epsilon_1$ con

ϵ_{1} = - k T \frac{\partial (en Z)}{\partial β}

$\epsilon_1 =-kT {\partial (\ln Z) \over \partial \beta}$

¿Por qué no dividimos la función de partición total? $Z_\text{tot}$ por $N!$ , si esta división no tiene relación con el hecho de que en mecánica cuántica las partículas son idénticas? Entonces deberíamos tener eso

Z_{nene} = \frac{Z^{norte}}{norte!}

$Z_\text{tot}={Z^N \over N!}$ Entonces, ¿por qué no dividimos por

N!

$N!$ ?

Nota: Las referencias en la parte superior de las publicaciones son sobre la división por el factorial. Según tengo entendido, argumentan que la división por $N!$ no es porque las partículas sean idénticas sino porque queremos que la entropía termodinámica sea la misma que la entropía estadística (cuestión de conveniencia). Entonces, ¿por qué no es necesaria aquí esta división?

Nota: Después de una primera respuesta, hago una nota aquí: si alguien argumenta que la división ocurre debido a la paradoja de Gibbs, al menos debería presentar una contrarrespuesta a las referencias que estoy haciendo en la parte superior de la publicación, argumentando en menos por qué esas publicaciones y artículos contienen errores o están completamente equivocados y, si es posible, proporcionar más fuentes para leer y estudiar.

Ján Lalinský

¿Por qué dividirías por

N!

$N!$ ? Esto sólo cambiaría la definición de

Z_{t o t}

$Z_{tot}$ , pero no tiene otra consecuencia por sí mismo.

Constantino negro

@JánLalinský Las referencias en la parte superior de las publicaciones son sobre la división con el factorial. Según tengo entendido, argumentan que la división con la N! no es porque las partículas sean idénticas sino porque queremos que la entropía termodinámica sea la misma que la entropía estadística (una cuestión de conveniencia). Entonces, ¿por qué esta división no es necesaria aquí? Gracias.

genero

Tenga en cuenta que el artículo de Jaynes ya tiene la respuesta: los sistemas de espín tienen fuerzas de largo alcance, lo que, como se menciona en la respuesta de Kyle a continuación, significa que la función de partición no se factoriza y, de hecho, la entropía no es extensa de todos modos, por lo que no No quiero tales factores en él.

Constantino negro

@genneth Gracias por la nota, pero ¿qué pasa si hacemos una suposición teórica de que las partículas no interactúan (interacciones muy débiles)? El libro de Mandle, al hacer una introducción al gas ideal cuántico, hace tal hipótesis. Su comentario de hecho responde en el caso de que tengamos interacciones. Gracias.

genero

@ConstantineBlack Si se suscribe al punto de vista de Jaynes, entonces puede acercarse de dos maneras. Una es identificar qué variables macroscópicas puede controlar y asegurarse de que controlarlas tenga consecuencias reproducibles . Luego, puede simplemente aplicar las fórmulas obvias y lo que sea que deba suceder, sucederá. El otro enfoque es fenomenológico, que requiere una hipótesis adicional sobre cómo debería cambiar la entropía con el tamaño del sistema: la relación de Clausius solo te dice cómo cambia con la energía y la temperatura.

Respuestas (1)

Sobre el factorial N! en la función de partición

¿Por qué dividirías por $N!$ ? Esto sólo cambiaría la definición de $Z_{tot}$ , pero no tiene otra consecuencia por sí mismo.
@JánLalinský Las referencias en la parte superior de las publicaciones son sobre la división con el factorial. Según tengo entendido, argumentan que la división con la N! no es porque las partículas sean idénticas sino porque queremos que la entropía termodinámica sea la misma que la entropía estadística (una cuestión de conveniencia). Entonces, ¿por qué esta división no es necesaria aquí? Gracias.
Tenga en cuenta que el artículo de Jaynes ya tiene la respuesta: los sistemas de espín tienen fuerzas de largo alcance, lo que, como se menciona en la respuesta de Kyle a continuación, significa que la función de partición no se factoriza y, de hecho, la entropía no es extensa de todos modos, por lo que no No quiero tales factores en él.
@genneth Gracias por la nota, pero ¿qué pasa si hacemos una suposición teórica de que las partículas no interactúan (interacciones muy débiles)? El libro de Mandle, al hacer una introducción al gas ideal cuántico, hace tal hipótesis. Su comentario de hecho responde en el caso de que tengamos interacciones. Gracias.
@ConstantineBlack Si se suscribe al punto de vista de Jaynes, entonces puede acercarse de dos maneras. Una es identificar qué variables macroscópicas puede controlar y asegurarse de que controlarlas tenga consecuencias reproducibles . Luego, puede simplemente aplicar las fórmulas obvias y lo que sea que deba suceder, sucederá. El otro enfoque es fenomenológico, que requiere una hipótesis adicional sobre cómo debería cambiar la entropía con el tamaño del sistema: la relación de Clausius solo te dice cómo cambia con la energía y la temperatura.

shane p kelly · Answer 1

En el ejemplo que diste anteriormente y al calcular ciertas variables termodinámicas como la presión:

PAG = - \frac{d F}{d V} = \frac{d}{d V} k_{b} T en (Z)

$P=-\frac{dF}{dV}=\frac{d}{dV}k_bT\ln(Z)$ el

N!

$N!$ cancela:

\frac{d}{d X} en (Z^{'} / norte!) = \frac{d}{d X} (en (Z^{'}) - en (norte!)) = \frac{d}{d X} en (Z^{'})

$\frac{d}{dx}\ln(Z'/N!)=\frac{d}{dx}\left(\ln(Z')-\ln(N!)\right)=\frac{d}{dx}\ln(Z')$

todavía necesita incluir el $N!$ cuando haces cálculos de potencial químico o entropía porque el $N!$ no cancela. Lo que leíste arriba es solo una abreviatura del cálculo que estaban haciendo.

Sobre el factorial N! en la función de partición

Constantino negro

Ján Lalinský

Constantino negro

genero

Constantino negro

genero

Respuestas (1)

shane p kelly

Función de partición para partículas indistinguibles clásicas y partículas Bose

Tratamientos clásico y semiclásico del gas ideal

Problema con la indistinguibilidad en la función de partición

Indistinguibilidad en mecánica estadística

¿Por qué la función de partición está dividida por (h3NN!)(h3NN!)(h^{3N} N!)?

Función de partición en coordenadas esféricas

Diferencia en la función de partición del gas ideal clásico y cuántico

Encontrar la función de partición para un sistema de tres niveles

Significado del postulado de simetrización en ausencia de un modelo adecuado

Intuición detrás del teorema del cúmulo vinculado: diagramas conectados frente a diagramas no conectados