Expresar el estado de dos partículas como una combinación de estados de una sola partícula

Digamos que tengo un espacio Fock H con base k = { | k ⟩ | k ∈ norte } . Luego considero los siguientes estados de una sola partícula:

(1) | A ⟩ = ∑ k ∈ k a k | k ⟩ ,
(2) | B ⟩ = ∑ k ∈ k b k | k ⟩ .

Yo sé eso | k 1 k 2 ⟩ = 1 2 ( | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ − | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ ) es un estado fermiónico válido de dos partículas. Esperaba poder calcular el estado de dos partículas que contiene partículas A y B como

(3) | A B ⟩ = ? 1 2 ( | A ⟩ ⊗ | B ⟩ − | B ⟩ ⊗ | A ⟩ ) .

Pero resulta que

(5) 1 2 ( | A ⟩ ⊗ | B ⟩ − | B ⟩ ⊗ | A ⟩ ) = 1 2 ∑ k 1 , k 2 ∈ k ( a k 1 b k 2 | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ − a k 2 b k 1 | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ ) = 0.

Entonces, ¿cómo escribo este estado de dos partículas? | A B ⟩ ? Debe ser expresable como

(6) | A B ⟩ = ∑ k 1 , k 2 ∈ k k 1 < k 2 C k 1 k 2 | k 1 k 2 ⟩ ,

pero que es C k 1 k 2 ? Lo es C k 1 k 2 = a k 1 b k 2 ? ¿Por qué?

Respuestas (1)

Porque deberia

1 2 ∑ k 1 , k 2 ∈ k ( a k 1 b k 2 | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ − a k 1 b k 2 | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ ) = 0

¿ser cierto?

Cambiando los índices obtienes

1 2 ∑ k 1 , k 2 ∈ k ( a k 1 b k 2 | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ − a k 1 b k 2 | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ ) = 1 2 ∑ k 1 , k 2 ∈ k ( a k 1 b k 2 − a k 2 b k 1 ) | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ .

Como puede ver, los términos simétricos desaparecen, pero los antisimétricos permanecen. A partir de esta ecuación, es fácil ver que

C k 1 , k 2 = 1 2 ( a k 1 b k 2 − a k 2 b k 1 ) .

Aquí se proporciona más información .

Los términos antisimétricos cancelan, también: ( a k 1 b k 2 | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ − a k 2 b k 1 | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ ) cancela con ( a k 2 b k 1 | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ − a k 1 b k 2 | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ ) . Esta es precisamente mi pregunta, ¿por qué puede dejar solo la mitad de esta suma? Además, el producto tensorial no es conmutativo: | k 1 ⟩ ⊗ | k 2 ⟩ ≠ | k 2 ⟩ ⊗ | k 1 ⟩ .
Soy consciente de que los productos tensoriales no conmutan, solo cambié los índices de suma k 1 ↔ k 2 . De hecho, la ec. (3) no podría ser cierto en general porque los productos tensoriales no conmutan. Acabo de ver que cometiste un pequeño error en la ec. (5): En el segundo término, debe cambiar los índices de los coeficientes o los vectores, de lo contrario, los términos serían los mismos y, de hecho, produciría 0 .
Ah, eso es correcto. Ahora entiendo lo que quieres decir :)
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