Sistema de dos qubits en coordenadas polares

Un operador de densidad válido es cualquier matriz hermitiana de traza 1 (con entradas complejas) y todos los valores propios entre 0 y 1. Por lo tanto, cualquier sistema de dos qubits puede representarse mediante una matriz hermitiana de traza 1 4x4.

Su representación de qubit podría reescribirse, de manera más sugestiva, como:

$$\begin{align} \rho &= \frac{1}{2}\left(\operatorname{I} + a_1 \sigma_x + a_2 \sigma_y + a_3\sigma_z \right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\operatorname{I} + \vec{a} \cdot\vec{\sigma}\right) \end{align}$$

Dónde$\operatorname{I}$es la matriz identidad 2x2 y la$\sigma_i$son las matrices de Pauli que son una base para el espacio de Hermitian, trace 0 2x2 matrices complejas.

De manera similar a los qubits, podemos descomponer cualquier sistema cuántico n-dimensional utilizando la identidad y cualquier base para el espacio de matrices complejas nxn hermitianas sin rastro, una buena opción de base son las matrices de Gell-Mann, y aquí se proporciona una construcción en dimensión n .

Como son ortogonales de Hilbert-Schmidt, puedes encontrar los coeficientes$a_i$por tu estado$\rho$tomando el producto interno:

$$a_i = \operatorname{tr}\sigma_i \rho$$

Si lo desea, puede reescribir el vector$\vec{a}$en cualquier sistema de coordenadas que desee (incluidas las polares).

Sin embargo, existe un problema porque aunque cada operador de densidad válido puede reescribirse de esta manera (con$\vec{a}$siendo un vector subnormalizado n-dimensional) no es el caso de que cada operador de esa forma sea un operador de densidad válido, el problema es que algunos de sus valores propios se volverán negativos y otros se volverán mayores que 1 para equilibrar esto . Esto no sucede con qubits (cualquier operador de la forma$\rho$Escribí anteriormente será un operador de densidad válido) y a veces hace que trabajar en dimensiones más altas sea bastante molesto.

Sí. Podemos hacer esto para cualquier número de qubits usando N coordenadas esféricas dimensionales . Para dos qubits podemos escribir una matriz de densidad general como una combinación lineal de productos directos de matrices de Pauli e identidad,

$$\rho = \sum_{ij=0}^3 a_{ij}~ \sigma_{i} \otimes \sigma_{j}$$ .

Aquí$\sigma_{0} = I$, y el resto son las matrices habituales de Pauli. Para una matriz de densidad válida$a_{00} = 1/4$. Se puede demostrar que todas las matrices de densidad válidas se encuentran dentro de una esfera de mayor dimensión centrada en la coordenada correspondiente a$a_{00}$. Y estos puntos se pueden representar utilizando coordenadas esféricas de mayor dimensión. Pero a diferencia de la esfera de Bloch para un solo qubit, todos los puntos no representan matrices de densidad válidas, ya que puede haber matrices con valores propios negativos. En todas las dimensiones superiores es un cuerpo convexo dentro de esta esfera. Puede encontrar una explicación detallada aquí y aquí .

Un estado de un qubit puede escribirse en general como

$$\begin{equation} |\psi_1\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \end{equation}$$ dónde $\alpha,\beta \in \mathbb C$y existe la restricción adicional de que $\langle \psi_1|\psi_1\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Sin embargo, sólo la fase relativa entre $|0\rangle$y $|1\rangle$es físicamente significativo (los estados cuánticos son rayos en el espacio de Hilbert), por lo que podemos factorizar una fase $e^{i\theta}$. Elijamos esa fase para que $a=e^{-i\vartheta}\alpha$es real mientras $b=e^{-i\vartheta} \beta$puede seguir siendo complejo. Nuestro estado es entonces $$\begin{equation} |\psi_1\rangle=e^{i\vartheta}(a|0\rangle+b|1\rangle). \end{equation}$$ La condición anterior es ahora $\langle \psi_1|\psi_1\rangle=|a|^2+|b|^2=1$. Tenemos tres parámetros reales y una restricción, por lo que podemos decir que nuestro estado $|\psi_1\rangle$vive en la unidad 2-esfera.

Análogamente, un estado de dos qubits puede escribirse en general como

$$\begin{equation} |\psi_2\rangle=a|00\rangle+b|01\rangle+c|10\rangle+d|11\rangle \end{equation}$$ donde podemos elegir $a\in \mathbb R$y $b,c,d \in \mathbb C$con la restricción adicional de que $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 =1$. En este caso, hay siete parámetros libres y una restricción, por lo que un sistema de dos qubit viviría en la esfera de la unidad 6 y tendría una descomposición polar correspondiente de mayor dimensión.