Singularidad de agujeros negros y teoría de cuerdas

La métrica de Schwarzschild para$d$dimensiones es la forma estándar

$$ds^2~=~-e^{2\phi}dt^2~+~e^{2\gamma}dr^2~+~r^2d\Omega^2$$ Estos términos métricos en la ecuación de campo de Einstein dan $$R_{tt}~-~\frac{1}{2}Rg_{tt}~=~G_{tt}~=~ -e^{2\phi}\Big((d~-~1)\frac{e^{2\gamma}}{r} ~+~\frac{(d~+~1)(d~-~2)}{2r^2}(1~-~e^{2\gamma}\Big)$$ una multiplicacion por $g^{tt}$elimina el $-e^{2\phi}$y lo equiparamos con un fluido sin presión $T^{tt}~=~\kappa\rho$. Así que pensamos en el agujero negro como compuesto de "polvo". Algunos análisis sobre esto se utilizan para calcular la $G_r^r$da el término de curvatura $$G_r^r~=~\Big((d~-~1)(\phi_{,r}~+~\gamma_{,r})\frac{e^{-2\gamma}}{r}~+~\kappa\rho\Big).$$ que nos dice $\phi~=~-\gamma$, acorde con el resultado estándar de Schwarzschild, y que $$e^{-2\gamma}~=~e^{2\phi}~-~\Big(\frac{r_0}{r}\Big)^{d~-~2}.$$ Luego, la entropía del agujero negro se calcula escribiendo la densidad de acuerdo con estos elementos métricos y calculando las coordenadas de tiempo de Rindler. $S~=~2\pi(d~-~2)A/\kappa$.

Los resultados siguen más o menos como con el estándar.$3~+~1$resultado del espacio-tiempo. La Conexión con cuerdas es trabajar con la entropía del agujero negro. El$1~+~1$la hoja del mundo de cuerdas tiene$d~-~1$grados de libertad transversales que contienen los datos de campo. la entropía$S~=~2\pi(d~-~1)T$puede calcularse con la longitud de la cadena, que se reduce a los resultados holográficos en$d~=~4$tiempo espacial.

El horizonte de sucesos es$d~-~2$dimensional, que para$10$dimensión significa que el horizonte es$8$dimensional. La singularidad no se considera en estos cálculos. Los factores$e^{-2\gamma}~=~e^{2\phi}$volverse extremadamente grande. La métrica se aproxima

$$ds^2~\simeq~\Big(\frac{r_0}{r}\Big)^{d~-~2}dt^2~+~r^2d\Omega^2$$ el cual es un $d~-~1$superficie dimensional donde la curvatura de Weyl diverge para $r~\rightarrow~0$. Para $d~=~4$esto tiene propiedades similares a un espacio anti-deSitter.

La teoría de los agujeros negros sigue esencialmente en dimensiones arbitrarias. Es interesante especular sobre qué es la singularidad desde una perspectiva fibrosa. El horizonte de eventos contiene la información del campo cuántico que compone el agujero negro. Esta puede tener entonces algún tipo de correspondencia con la singularidad interior, con una dimensión mayor. Para un agujero negro que es muy pequeño$\sim~10^3$unidades de Planck, el horizonte es una región fluctuante cuántica, al igual que la singularidad, y los datos QFT de los dos pueden tener algún tipo de equivalencia.

Sí, las singularidades tienen que formarse -bajo suposiciones similares- en espaciotiempos de cualquier dimensión. Esto no es un problema: una singularidad simplemente significa un lugar donde los efectos planckianos de gravedad cuántica se vuelven importantes. En particular, el teorema de Penrose-Hawking y sus generalizaciones garantizan que los agujeros negros con singularidades se forman incluso en el vacío 10D.

Las singularidades que serían, si se formaran, problemáticas desde el punto de vista de otra afirmación de Penrose, la Conjetura de la Censura Cósmica (la CCC), son singularidades desnudas, es decir, aquellas que no están vestidas con un horizonte de eventos. En 3+1 dimensiones, lo más probable es que no se formen singularidades desnudas (el CCC parece mantenerse), pero creo que se ha establecido bastante que en GR de dimensiones superiores, pueden formarse (el CCC falla). No son una inconsistencia real: una teoría consistente de la gravedad cuántica puede predecir lo que sucede incluso en presencia de singularidades desnudas, incluso si el Dr. Roger Penrose lo encontró contradictorio o peligroso.

a) Si el teorema de singularidad 4D o 10D es relevante para la teoría de cuerdas depende de la situación que considere. Si hay 10 dimensiones grandes, debe usar el teorema 10D; si solo hay 4 dimensiones grandes, la física es aproximadamente equivalente a GR en 4D y el teorema de singularidad relevante es el teorema 4D. Obviamente, si las dimensiones compactas son tan pequeñas como la longitud de Planck, no podemos resolverlas desde un punto de vista cosmológico, por lo que las implicaciones cosmológicas son idénticas. Una singularidad en una descripción GR de 3+1 dimensiones puede extenderse secretamente en dimensiones adicionales, ya sea todas las dimensiones compactadas o solo algunas de ellas, pero este hecho no afecta las conclusiones sobre las singularidades para distancias mucho más largas que la escala de Planck. .

b) No entiendo completamente qué son los "fenómenos de superficie", pero es cierto que, por ejemplo, en la correspondencia AdS/CFT, es extremadamente difícil, si no imposible, "ver" dentro de los agujeros negros, es decir, las regiones dentro del evento. horizonte. Es por eso que las singularidades dentro de los agujeros negros permanecen en gran medida invisibles para la descripción de CFT de límite. En cierto sentido, se puede imaginar que toda la física reside fuera de los horizontes de eventos y que el interior del agujero negro contiene solo un subconjunto de esta información que se reorganiza severamente: este principio que rechaza la existencia independiente del interior se conoce como el "agujero negro". complementariedad de huecos".

c) Puede haber singularidades localizadas en las dimensiones extra que se extienden sobre todo el gran espacio-tiempo de 3+1 dimensiones. En ese caso, simplemente decimos que la variedad compactada es singular. Conifolds y orbifolds son dos clases de ejemplos simples. En esos casos, la descripción efectiva 4D puede seguir siendo no singular. Sin embargo, siempre que tenga singularidades cuyo carácter dependa en gran medida de la posición en el espacio-tiempo de 3+1 dimensiones (en particular, cualquier singularidad que esté localizada en al menos una dimensión grande entre las dimensiones de 3+1), inevitablemente se manifestará. como singularidades en la descripción 4D por GR también. Es simplemente porque uno puede demostrar que la densidad de energía alrededor de esas singularidades explota y esta densidad de energía tiene que causar una gran curvatura, incluso de acuerdo con la descripción 4D efectiva. Entonces, las singularidades localizadas en las grandes dimensiones no pueden ocultarse, ni siquiera si intentan localizarse en las dimensiones compactas de alguna manera.