sin masa del bosón de Goldstone, acción efectiva y medida funcional-integral

Hay varias formas generales de ver el punto. Permítanme darles uno simple que aún es lo suficientemente general (vea también el último comentario al final). Imagina que tienes una densidad lagrangiana$L$que es invariante bajo la transformación continua del grupo que actúa linealmente sobre los campos como

$$\phi\rightarrow \phi^\prime=U\phi=e^{i\omega^a T^a}\phi=(1+i\omega^a T^a+\ldots)\phi\,.$$ Si esta simetría se realiza sobre los estados del sistema, es decir la simetría no se rompe espontáneamente, significa que las funciones de correlación también son invariantes, $$\delta^a\langle\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\ldots\rangle=\langle\delta^a\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\rangle+\langle\phi(x_1)\delta^a\phi(x_2)\ldots\rangle+\ldots=0$$ dónde $\delta^a\phi(x)=iT^a\phi(x)$es la transformación infinitesimal. (En el caso que nos ocupa le interesa la variación de la función de un punto $\delta^a\langle\phi\rangle$). Esta invariancia es equivalente a la llamada identidad de Ward para los elementos de la matriz actual. $$\partial_\mu \langle J^{a\,\mu}(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\phi(x_n)\rangle=\sum_{m}\delta^4(x-x_m)\langle \phi(x_1)\ldots\delta^a\phi(x_m)\ldots\phi(x_n)\rangle$$ como queda claro integrando con respecto a $x$ambos lados SI podemos descartar el término de superficie en el lado izquierdo. (Bajo el mismo IF , uno puede definir los cargos de Noether asociados integrando los correladores anteriores de cierta manera (ver, por ejemplo, el libro CFT de Di Francesco et al, sec. 2.4 para más detalles).

Pero, de hecho, la ruptura espontánea de la simetría ocurre cuando las corrientes (es decir, sus elementos de matriz) no mueren en el infinito lo suficientemente rápido. Piense en los bosones de Goldstone$\pi^a(x)$que en este caso son generadas por las corrientes rotas espontáneamente

$$\langle J^a_\mu(x)\pi^b(y)\rangle\sim \delta^{ab} \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip(x-y)}\frac{-ip_\mu}{p^2+i\epsilon}$$ dónde $\pi(x)$es el campo (genéricamente compuesto, que se construye a partir de productos de $\phi$'s) que crea el bosón de Goldstone a partir del vacío. La tilde significa que estoy descuidando un factor numérico general y tomando también el gran $x-y$límite (lo último significa que solo contribuyen los modos sin masa, y dado que los GB tienen interacciones que desaparecen como $p\rightarrow0$podemos usar en ese límite el correlador de partículas libres). De hecho, sabemos por el teorema de Goldstone que $$\langle 0|J^{a\,\mu}(0)|\pi^b(p)\rangle=\delta^{ab}\frac{f_\pi p^\mu}{(2\pi)^3 2|p|}$$ de modo que $$J^{a\,\mu}=f_\pi\partial_\mu\pi^{a}+\ldots$$ donde el $\ldots$son términos que se desvanecen en el vacío. De la función de 2 puntos anterior, por lo tanto, se puede ver que $$\partial_\mu \langle J^a_\mu(x)\pi^b(y)\rangle\sim \delta(x-y)$$ que se integró sobre $d^4x$no se está desvaneciendo. Por lo tanto, no se puede descartar la integración del lado izquierdo de la identidad de Ward. En otras palabras, en la teoría con bosones de Goldstone, las funciones de correlación de las corrientes (quebradas espontáneamente) $J^{a\, \mu}$no se desvanecen lo suficientemente rápido y, por lo tanto, los valores esperados de vacío del campo no disfrutan de la misma simetría que la dinámica.

Unos últimos comentarios sobre la relación con la integral de trayectoria derivación de la simetría de las funciones de correlación. Promocionemos por un segundo los parámetros$\omega^a$de la transformación a funciones dependientes del espacio-tiempo,$\omega^a\rightarrow \omega^a(x)$. El lagrangiano era invariante con$\omega$constante, de modo que en para una transformación infinitesimal tenemos

$$\delta S[\phi]=\int d^4x \partial_\mu \omega^a(x) J^{a\,\mu}(x)\,.$$ Ahora, mira la función de partición. $Z[J]=\int d\phi e^{i S[\phi]+J\cdot\phi}$y cambio de variable $\phi=e^{-i\omega^a(x)T^a}\phi^\prime=U^{-1}\phi^\prime$ $$Z[j]=\int d\phi^\prime e^{iS[\phi^\prime]+j\cdot\phi^\prime}\left[1-\delta S[\phi^\prime]-i\omega^a J\cdot T^{a}\phi^\prime\right]$$ (suponiendo que la medida de integración $d\phi$es invariante como es habitual para simetrías no anómalas). Desde $\phi^\prime$se resume, lo renombramos de nuevo $\phi$y consigue eso $$\int d\phi e^{iS[\phi]+j\cdot\phi}\left[\int d^4x \partial_\mu \omega^a(x) J^{a\,\mu}(x)+i\omega^a(x) j\cdot T^{a}\phi\right]=0\,.$$ Para $\omega$constante esto es solo la afirmación de que $Z$es invariante bajo las transformaciones inversas (globales). Pero se puede extraer más información tomando una variable arbitraria $\omega(x)$(con $\omega$desapareciendo lo suficientemente rápido en el infinito) para lo cual $Z$no es invariante: integramos por partes el primer término anterior $$\int d\phi e^{iS[\phi]+j\cdot\phi}\left[\int d^4 x \omega^a(x) \left( \partial_\mu J^{a\,\mu}(x)-i j^T(x) T^{a}\phi\right)\right]=0\,$$ Tomando las derivadas funcionales $\delta^{(n)}/\delta j(x_1)\ldots \delta j(x_n)$wrt a las fuentes $j(x)$(y luego configurando el $j=0$), recuperamos las identidades de Ward que usamos arriba (recuerda que $\omega(x)$es básicamente arbitrario) $$\partial_\mu \langle J^{a\,\mu}(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\phi(x_n)\rangle=\sum_{m}\delta^4(x-x_m)\langle \phi(x_1)\ldots\delta^a\phi(x_m)\ldots\phi(x_n)\rangle$$ lo cual argumentamos que no implica la invariancia de las funciones de correlación a menos que los elementos de la matriz actual en el lado izquierdo desaparezcan lo suficientemente rápido. Nuevamente, este no es el caso de las simetrías rotas espontáneamente que dan lugar a los bosones de Goldstone.

Nota agregada después de que se haya agregado más información en la pregunta original

Uno puede preguntarse cómo el VEV puede ser distinto de cero simplemente observando la integral de trayectoria con uno$\phi$inserción y sin fuentes, a saber

$$\langle\phi\rangle= \int d\phi \phi e^{iS[\phi]}\,.$$ Bueno, esta fórmula asume formalmente que el vacío es una colección de osciladores armónicos $\phi$variables En particular, la función de onda $\langle\phi(x)|0\rangle$de tal vacío da lugar a la infame $+i\epsilon$prescripción en el propagador de campo (necesaria para hacer convergentes las funciones de correlación) si $\langle\phi(x)|0\rangle$es gaussiana (ver Weinberg volumen I capítulo 9.2). Esto no es más que una forma de establecer las condiciones de contorno para los campos en el estado de vacío. Pero aquí está el problema: para una simetría espontánea, la función de onda de vacío asociada a los campos cargados no es gaussiana y no se extingue en el infinito (ver, por ejemplo, la discusión sobre la identidad de Ward anterior). Entonces, el vacío real y las funciones de correlación apropiadas asociadas con él están definidas por la integral de trayectoria sobre los campos $\pi(x)$con un mejor comportamiento en el infinito, aquel para el que la función de onda de vacío es de tipo gaussiano $$\langle\pi(x)|0\rangle=\int d^4x d^4y e^{-\frac{1}{2}\pi(x)K(x-y)\pi(y)}$$ (donde la función del núcleo es una función de Hankel, consulte nuevamente el volumen I de Weinberg, capítulo 9.2 para obtener más detalles). Estos son básicamente los campos que obtuvo al cambiar los campos alrededor de sus VEV. De todos modos, lo que queda es la identidad de Ward que te dice cuándo sucede todo esto: cuando la corriente en el infinito no llega a cero lo suficientemente rápido en ciertas configuraciones de campo (los GB) que dominan la integral de trayectoria a grandes distancias.

Permítanme agregar el último comentario: he estado trabajando con una simetría continua porque permite rastrear explícitamente la ruptura de la simetría de las funciones de correlación a partir de sus identidades de Ward. Esto es bueno y también muestra por qué en 1+1 la SSB no puede ocurrir para simetrías continuas: no hay GB en 1+1 (ya que la función de correlación$\langle\pi\pi\rangle$diverge logarítmicamente en el IR) y por lo tanto la corriente tendrá elementos de matriz bien comportados en el infinito y la simetría se realizará linealmente. Sin embargo, el inconveniente de esta explicación para las simetrías continuas es que dice muy poco sobre las simetrías discretas (que no entregan identidades de Ward). En tal caso, creo que la mejor explicación física general la da Weinberg en el volumen II, capítulo 19.1. Explica muy bien que el mecanismo SSB requiere infinitos grados de libertad (junto con la causalidad y la conservación del momento) que prohíbe las transiciones entre diferentes vacíos degenerados que en cambio restaurarían un estado de vacío simétrico como sucede en QM.

Dado que el problema conceptual no proviene realmente de la teoría de campos en sí misma, veamos el caso 0D. Este caso es demasiado ingenuo (no hay SSB aquí), pero la discusión sigue siendo cualitativamente correcta . La función de partición es

$$Z(j,j^*)=\int dz dz^* e^{-V(|z|^2)+ z^*j + j^* z},$$ dónde $dzdz^*$realmente significa $d\Re z\,d\Im z$y $V(x)=r\, x+x^2$dónde $r$puede ser positivo o negativo.

Si cambiamos la fase de$j$y$j^*$tal que$j^{(*)}{}'=e^{(-)i\theta}j$, encontramos

$$Z(j',j^{*}{}')=\int dz dz^* e^{-V(|z|^2)+ e^{i\theta}z^*j + e^{-i\theta}j^* z},$$ y usando $z'=e^{-i\theta}z$, y el hecho de que el jacobiano y $V$son invariantes, obtenemos que $$Z(j',j^{*}{}')=Z(j,j^*)=e^{W(j,j^*)}$$ es una función de $|j| {}^2$solo.

Uno puede preguntarse cómo la fase SSB ($r<0$) podría obtenerse ya que$\bar z =\langle z\rangle=\frac{\partial W}{\partial j}(0,0)$se espera que sea cero por la simetría discutida anteriormente. La razón es que en la fase SSB,$W$no es analítico en pequeño$j$. Típicamente, tenemos

$$W(j,j^*)=W(0,0)+2a\sqrt{j\, j^*}+\cdots,$$ y obtenemos $\bar z = a\, e^{-i\arg j}$( $a$es una constante que depende del sistema) que depende explícitamente de la fase de $j$y así en el camino enviamos $j$a cero como se esperaba. Uno puede verificar fácilmente que computando $W$numéricamente, por ejemplo con mathematica.

EDITAR: más detalles sobre el post scriptum del OP.

Por supuesto, si uno calcula$\bar z$ingenuamente uno encuentra

$$\bar z = \int dz dz^* \, z\, e^{-V(|z|^2)}/Z(0,0)=0,$$ para todos $r$, incluso en la fase SSB, por simetría. Pero la solución de este problema es bien conocida, se debe calcular $\bar z$en fuentes finitas $j=Je^{-i\Theta}$y luego enviar las fuentes a cero, es decir $J\to 0$.

En la fase simétrica$\bar z (j,j^*)\propto j j^*=J^2$y uno encuentra$\bar z(0^+,0^+)=0$, mientras que en la fase SSB, uno encuentra (ver arriba)$\bar z (j,j^*)= a e^{i\Theta}$como$J\to 0$, véase más arriba. Por supuesto, ya que estamos en la fase SSB,$\bar z$depende de la fase de la fuente, y cambiando la fase de$j$cambiará el de$\bar z$.

Lo mismo sucede en la transición paramagnético-ferromagnético en el modelo de Ising donde el signo de la magnetización depende del signo del campo magnético$h$. Invito al OP a empezar con ese caso.