Relación entre la matriz de rotación y los ángulos de Euler

tengo una matriz de rotacion$M$(así que sé que$M M^T = 1$). Recupero los ángulos con las fórmulas:

$$\begin{array}{lll} \alpha & = & {\rm atan2}(M_{1 2}, M_{1 1}) \\ \beta & = & {\rm atan2}(- M_{1 3}, \sqrt{1 - M_{1 3}^2}) \\ \gamma & = & {\rm atan2}(M_{2 3}, M_{3 3}) \\ \end{array}$$

tengo mis tres matrices

$$R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\gamma) & \sin( \gamma) \\ 0 & -\sin(\gamma) & \cos( \gamma) \end{bmatrix}$$

$$R_y = \begin{bmatrix} \cos(\beta) & 0 & -\sin(\beta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) \end{bmatrix}$$ $$R_z = \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Ahora quiero probar que cuando$0 < \cos(\beta)$tenemos

$$M = R_x R_y R_z$$

Lo hice para los casos simples ($M_{1 1}$,$M_{1 2}$,$M_{1 3}$,$M_{2 3}$,$M_{3 3}$) pero estoy atascado en los casos restantes. Por ejemplo, ¿cómo puedo probar que

$$M_{2 1} = \cos(\alpha) \sin(\beta) \sin(\gamma) - \sin(\alpha) \cos(\gamma)$$