Simetrías en física

Considere una teoría de campos$\phi:M\to T$dónde$M$es una multiplicidad y$T$es un conjunto. En física,$T$es a menudo un espacio vectorial o una variedad. Nosotros llamamos$M$el dominio de la teoría, y llamamos$T$el espacio objetivo . de la teoría Llamamos a una función de$M$a$T$una configuración de campo , y el conjunto de todas las configuraciones de campo se denota$\mathcal F$.

Consideremos dos situaciones:

Caso 1. Dejar grupos$G_M$y$G_T$ser dado. Dejar$\rho_M$ser una acción de$G_M$en$M$, y deja$\rho_T$ser una acción de$G_T$en$T$, entonces hay una acción "natural" de$\rho_\mathcal F$de$G_M\times G_T$en$\mathcal F$dada por

$$\begin{align} \rho_\mathcal F(g_M, g_T)(\phi)(x) = \rho_T(g_T)\Big(\phi\big(\rho_M(g_M)^{-1}(x)\big)\Big) \end{align}$$ Te dejaré probar que se trata de una acción de grupo.

Caso 2. Sea un grupo$G$ser dado. Dejar$\rho_M$ser una acción de$G$en$M$, y deja$\rho_T$ser una acción de$G$en$T$, entonces hay una acción "natural" de$\rho_\mathcal F$de$G$en$\mathcal F$dada por

$$\begin{align} \rho_\mathcal F(g)(\phi)(x) = \rho_T(g)\Big(\phi\big(\rho_M(g)^{-1}(x)\big)\Big) \end{align}$$ Te dejo a ti probar que esto es de hecho una acción de grupo.

Ahora, expresemos su pregunta de la siguiente manera:

En cualquiera de los casos anteriores, es su un sentido en el que$\rho_M$induce$\rho_T$?

La respuesta, que yo sepa, es que depende del contexto y de lo que se entienda por "inducido". Consideremos el ejemplo que das en tu declaración de la pregunta.

Ejemplo. Un$\mathrm{O}(2)$campo vectorial en$\mathbb R^{3,1}$.

Tenemos

$$\begin{align} M = \mathbb R^{3,1}, \qquad T = \mathbb R^2, \qquad G_M = \mathrm{P}(3,1), \qquad G_T = \mathrm{O}(2) \end{align}$$ dónde $\mathrm{P}(3,1)$es el grupo de Poincaré en cuatro dimensiones. En este caso, a menudo se toma $\rho_M$y $\rho_T$ser - estar $$\begin{align} \rho_M(\Lambda,a)(x) = \Lambda x+a, \qquad \rho_T(R)(v) = Rv \end{align}$$ Tenga en cuenta que esto se incluye en el Caso 1 anterior. En este caso, no existe una relación "canónica" (que yo sepa) entre el grupo de Poincaré y $\mathrm{O}(2)$, por lo que no hay un sentido canónico en el que $\rho_M$induce $\rho_T$.

Sin embargo, considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo. Un$\mathrm{SO}(3)$ $2$-campo tensor en$\mathbb R^{3}$.

Tenemos

$$\begin{align} M = \mathbb R^{3}, \qquad T = T_2(\mathbb R^3), \qquad G = \mathrm{SO}(3) \end{align}$$ dónde $T_2(\mathbb R^3)$es el espacio vectorial de $2$-tensores en $\mathbb R^3$. Entonces hay una acción natural de $G$en $M$dada por $$\begin{align} \rho_M(R)x = Rx \end{align}$$ Ya que $2$-tensores en $\mathbb R^3$se pueden describir como funciones de mapas bilineales $S:\mathbb R^3\times \mathbb R^3 \to \mathbb R$, también hay una acción natural de $G$en $T$dada por $$\begin{align} \rho_T(S)(x_1, x_2) = S(R^{-1}x_1, R^{-1} x_2) \end{align}$$ que también se puede escribir como $$\begin{align} \rho_T(S)(x_1, x_2) = S(\rho_M(R)^{-1}x_1, \rho_M(R)^{-1} x_2) \end{align}$$ entonces, en este caso, hay un sentido en el cual $\rho_M$ha inducido $\rho_T$.