¿Existe un teorema similar al de Birkhoff para las métricas axisimétricas estacionarias?

1. Tenga en cuenta en primer lugar que$U(1)$la simetría axial es mucho más pequeña que$SO(3)$simetría esférica.

2. (Pongamos la constante cosmológica$\Lambda=0$a cero.) Mientras que las soluciones de vacío simétricas esféricamente son estáticas y no hay ondas gravitacionales simétricas esféricas, las soluciones de vacío simétricas no son necesariamente estacionarias y hay ondas gravitacionales simétricas. Incluso si se asume adicionalmente que la solución de vacío axisimétrica es estacionaria o estática , todavía queda demasiada libertad. Por lo tanto, no existe una versión axisimétrica del teorema de Birkhoff .

3. La siguiente analogía electrostática con la ecuación de Poisson en 3D es reveladora: Soluciones esféricamente simétricas$\phi$a la ecuación de Laplace están restringidas a sólo$\phi= Ar^2+B/r$. Por otro lado, para soluciones axisimétricas de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, no tenemos control sobre el$z$-dependencia.

No hay nada tan fuerte como el teorema de Birkhoff en el caso de la estacionariedad y la axisimetría. Tenga en cuenta que el teorema de Birkhoff en su forma más fuerte se puede establecer como:

" Si incluso una parte del espacio-tiempo es esféricamente simétrica y un vacío, entonces es una parte del espacio-tiempo de Schwarzschild " .

Hay varios teoremas sobre espacio-tiempos estacionarios y axialmente simétricos que dicen que reducimos a Kerr bajo varias condiciones tales como, por ejemplo, regularidad fuera y en el horizonte, conectividad del horizonte, planitud asintótica y vacío global. Es decir, con cierto margen de libertad de la fe física, podemos construir argumentos de que, como un espacio-tiempo razonable, globalmente estrictamente vacío y asintóticamente plano, el espacio-tiempo de Kerr es único.

Sin embargo, no conocemos ninguna solución de materia razonable que coincida con el espacio-tiempo de Kerr como una solución "exterior". Geroch incluso ha conjeturado que no existe una solución "interior" para la métrica de Kerr, es decir, una estrella que no sea un agujero negro que se reduzca a Kerr fuera de su superficie. (Yo personalmente creo que la conjetura de Geroch es cierta).

En la práctica, cuando construimos soluciones de estrellas de neutrones, encontramos que siempre difieren del caso de Kerr en los momentos cuadripolares y multipolares de masa más altos del espacio-tiempo y tenemos que emparejarlos con métricas no Kerr aproximadamente construidas. Es decir, cuando no estamos globalmente vacíos, la singularidad de Kerr se rompe con seguridad.

Incluso hay una clase bastante conocida de soluciones derivadas de Manko y Novikov en 1992 que permiten establecer todos los valores asintóticos infinitos de momentos de masa multipolar en valores arbitrarios. Esto, sin embargo, tiene el costo de extrañas singularidades en el horizonte y/o fuentes de materia singulares fuera de él. Si desea un campo de juego más simple para ganar algo de intuición en esto, puede consultar las métricas de Weyl estáticas y axisimétricas donde puede conectar cualquier potencial gravitatorio newtoniano (axisimétrico y estacionario) para generar un nuevo espacio-tiempo que se desvía de Kerr en su vacío. regiones.

No. El punto clave es el valor (en general) distinto de cero de los modos multipolares.

Físicamente, se debe enfatizar que no existe un teorema de Birkhoff para la rotación del espacio-tiempo; no es cierto que la geometría del espacio-tiempo en la región del vacío fuera de una estrella (o planeta) giratoria genérica sea parte de la geometría de Kerr. El mejor resultado que se puede obtener es la declaración mucho más suave de que fuera de una estrella (o planeta) en rotación, la geometría se aproxima asintóticamente a la geometría de Kerr. El problema básico es que en la geometría de Kerr todos los momentos multipolares están estrechamente relacionados entre sí, mientras que en las estrellas (o planetas) físicas reales, el cuadrupolo de masa, el octopolo y los momentos superiores de la distribución de masa pueden, en principio, especificarse de forma independiente. Por supuesto, del electromagnetismo recordará que los campos de n polos más altos caen como 1/r^{2+n}, de modo que lejos del objeto dominan los multipolos más bajos, es en este sentido asintótico que la geometría de Kerr es relevante para estrellas o planetas en rotación. Por otro lado, si la estrella (o el planeta) colapsa gravitacionalmente, clásicamente se puede formar un agujero negro. En este caso, hay una serie de poderosos teoremas de unicidad que garantizan la relevancia física directa del espacio-tiempo de Kerr, pero como la única solución exacta correspondiente a los agujeros negros giratorios estacionarios (en lugar de ser simplemente una solución asintótica para el campo lejano de los agujeros negros giratorios). estrellas o planetas)

Fuente: Visser (2008)