Significado físico de la transformación de Legendre

Question

Significado físico de la transformación de Legendre

Física
Termodinámica
Mecanica-clasica
Formalismo-lagrangiano
Formalismo-hamiltoniano

gsAllan

Me gustaría saber el significado físico de la transformación Legendre , si hay alguna. Lo he usado en termodinámica y mecánica clásica y ¿parecía solo un cambio de coordenadas?

Vladimir Kalitvianski

Ver arxiv.org/abs/0806.1147 .

Tim

Ver también physicstravelguide.com/advanced_tools/legendre_transformation

Zhuoran He

Si bien se usa con frecuencia, es posible que no siempre se porte tan bien. Por ejemplo,

re (\frac{X^{3}}{3}) = X^{2} re X .

Se puede realizar una transformación Legendre para cambiar la variable de

x

x

X

a

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

X^{2}

utilizando

re (\frac{X^{3}}{3}) - re (X^{2} \cdot X) = X^{2} re X - X^{2} re X - X re X^{2},

que luego se reduce a

re (- \frac{2}{3} X^{3}) = - X re X^{2} .

Aunque esta sigue siendo una relación de diferenciación correcta, globalmente

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 X^{3} / / 3

no es una función de

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

X^{2}

porque dado

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

X^{2}

la función

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 X^{3} / / 3

siempre puede tomar dos valores para

x \neq 0

x \neq 0

X \neq 0 0

.

Respuestas (3)

Significado físico de la transformación de Legendre

Ver también physicstravelguide.com/advanced_tools/legendre_transformation
Si bien se usa con frecuencia, es posible que no siempre se porte tan bien. Por ejemplo, $re (\frac{X^{3}}{3}) = X^{2} re X .$ Se puede realizar una transformación Legendre para cambiar la variable de $x$ $x$ $X$ a $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $X^{2}$ utilizando $re (\frac{X^{3}}{3}) - re (X^{2} \cdot X) = X^{2} re X - X^{2} re X - X re X^{2},$ que luego se reduce a $re (- \frac{2}{3} X^{3}) = - X re X^{2} .$ Aunque esta sigue siendo una relación de diferenciación correcta, globalmente $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 X^{3} / / 3$ no es una función de $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $X^{2}$ porque dado $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $X^{2}$ la función $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 X^{3} / / 3$ siempre puede tomar dos valores para $x \neq 0$ $x \neq 0$ $X \neq 0 0$ .

Luboš Motl · Answer 1

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation#Applications

En física teórica, las propiedades matemáticas básicas o definitorias de la transformación de Legendre se utilizan para cambiar entre una forma de energía, o "potencial", como se llama a las energías generalizadas en termodinámica, a otra.

Esto es importante para cambiar entre el lagrangiano en mecánica abstracta que depende de $x, v$ $x, v$ $X, v$ (posiciones y velocidades) al hamiltoniano, la verdadera energía que depende de $x, p$ $x, p$ $X, pag$ .

En termodinámica, el número de aplicaciones y "tipos de interruptores" es aún mayor. Puede pasar de energía a entalpía o energía libre de Helmholtz o energía libre de Gibbs transformando Legendre con respecto a varias variables. La transformación va y viene. Como explica el ejemplo de Wikipedia, hay otras variables útiles que puede transformar Legendre con respecto, incluida la carga y el voltaje.

Puede considerar la transformación de Legendre como una "mera" redefinición de variables, pero es por eso que es tan importante en la práctica. En realidad, las diferentes formas de describir el sistema que difieren en una transformación de Legendre son "igualmente fundamentales" o "igualmente naturales", por lo que a menudo es útil estar familiarizado con todos ellos y saber cuál es la relación entre ellos. La relación está dada por la transformación de Legendre.

-1: "igualmente fundamental" o "igualmente natural" son cualquier cambio variable reversible. Prácticos son aquellos que ayudan a separar nuevas variables y / o emitir las ecuaciones en una forma "solucionable". Si un problema no se resuelve en la forma lagrangiana, sigue siéndolo en la forma de Hamilton.
@Vladimir: todos son igualmente fundamentales porque las formulaciones son completamente equivalentes (por supuesto, las condiciones habituales de convexidad, etc., deben cumplirse). Esto le permite decidir qué formulación es la mejor para el problema dado. Pero esto es precisamente lo que dijo Luboš también, así que no entiendo con lo que no estás de acuerdo ...

Wouter · Answer 2

Las transformaciones de Legendre se usan comúnmente en termodinámica (para cambiar entre diferentes variables independientes) y mecánica clásica (para cambiar entre los formalismos de Lagrange y Hamilton). Pero usted pregunta con razón: ¿qué es exactamente una transformación Legendre? ¿De dónde viene? ¿Qué lo hace funcionar?

En (1D) mecánica clásica, por ejemplo: si tenemos un lagrangiano $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ , ¿por qué podemos definir una variable

pag = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

y esperar poder construir una nueva función (la hamiltoniana )

H (q, pag [, t]) = pag \dot{q} - L (q, \dot{q} [, t])

que se comporta bien? ¿Cuál es la relación entre ambas funciones?

Veamos el lagrangiano y el hamiltoniano como un ejemplo guía. Lo mantendré bastante abstracto / general, pero la notación de lagrangiana / hamiltoniana puede ayudar a hacer las cosas más concretas y claras.

Sin embargo, una cosa que haré es dejar de lado la dependencia explícita del tiempo. No es importante para nuestro análisis y, en la mayoría de los casos, no habrá una dependencia explícita del tiempo. Además, denotaré $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ poner menos énfasis en la relación con $q$ $q$ $q$ , ya que no es importante para la transformación de Legendre.

Entonces, ¿qué necesitamos para una transformación Legendre?

Bueno, antes que nada necesitamos dos variables $v$ $v$ $v$ , $p$ $p$ $pag$ que son funciones de un solo valor entre sí. Otra forma de decir esto es que $p$ $p$ $pag$ debe ser una función monótona de $v$ $v$ $v$ y viceversa. La figura 1 muestra un ejemplo de dicha función.

v y p son funciones de un solo valor entre sí
Figura 1. Ejemplo de una relación de un solo valor entre $v$ $v$ $v$ y $p$ $p$ $pag$ .

Para tales variables, siempre es posible construir un par de funciones con la propiedad de que la diferenciación de una de las funciones con respecto a una de las variables produce la segunda variable. De manera equivalente, la derivada de la segunda función con respecto a esta segunda variable produce la primera variable.

En nuestro ejemplo de mecánica clásica, las funciones que podemos construir para nuestras dos variables $v$ $v$ $v$ y $p$ $p$ $pag$ son los lagrangianos $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ y el hamiltoniano $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, pag)$ . $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Satisfacen (por definición) las relaciones diferenciales

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial v} & = pag \\ \frac{\partial H}{\partial pag} & = v \end{aligned}

Por que funciona

De hecho, ¿por qué podemos construir tales funciones? Eche otro vistazo a la figura 1. La forma en que se configura el gráfico, se ve como un gráfico de $p$ $p$ $pag$ como una función de $v$ $v$ $v$ . Entonces, si integramos esta función entre $0$ $0$ $0 0$ y algo de valor $v$ $v$ $v$ (se muestra en el gráfico), la respuesta que obtenemos es el área naranja debajo de la curva. ¡Esta integral es nuestra primera función! De hecho, si volvemos a la notación de nuestro ejemplo clásico (voy a dejar de lado el $q$ $q$ $q$ dependencia de ahora en adelante):

L (v) = \int_{0 0}^{v} pag (v^{'}) re v^{'}

porque

\frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \int_{0 0}^{v} pag (v^{'}) re v^{'} = pag .

Ahora, si consideramos que la curva de la Figura 1 es $v$ $v$ $v$ como una función de $p$ $p$ $pag$ (gire el gráfico si eso lo aclara), podemos hacer un razonamiento similar. Esta vez integramos entre $0$ $0$ $0 0$ y $p$ $p$ $pag$ dónde $p$ $p$ $pag$ ha sido elegido para corresponder a nuestro anterior $v$ $v$ $v$ . $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Esta integral es nuestra segunda función; así que en términos de nuestro ejemplo clásico 1D:

H (pag) = \int_{0 0}^{pag} v ({pag}^{'}) re {pag}^{'} .

Es posible que haya notado que hemos descrito un rectángulo con las integrales (y, por lo tanto, las dos funciones $L$ $L$ $L$ y $H$ $H$ $H$ ) Este rectángulo tiene una superficie total de $p \cdot v$ $p \cdot v$ $pag \cdot v$ . Pero también hemos calculado su superficie en dos partes: el verde y el naranja. Por lo tanto, la suma de ambos debe ser igual a $p v$ $p v$ $pag v$ . Esto produce la transformación Legendre

L (v) + H (pag) = pag v

o

H (pag) = pag v - L (v)

.

¿Cómo funciona una transformación Legendre en la práctica?

Aquí hay un plan de 3 pasos:

Comience con su primera función, p. Ej. $L (v)$ $L (v)$ $L (v)$ . $[$ $[$ $[$ o $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ para un ejemplo termodinámico $]$ $]$ $]$ $]$
Encuentre la variable conjugada por diferenciación:
$pag = \frac{\partial L}{\partial v} [T = \frac{\partial U}{\partial S}]$
Construye la segunda función
$H (pag) = pag \cdot v - L (v) [(- F (T)) = T \cdot S - U (S)]$
e inserte la variable conjugada donde sea posible, es decir, reemplace $v$ $v$ $v$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ con la expresión $v (p)$ $v (p)$ $v (pag)$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ a lo largo de toda la expresión.

En parte de la Figura 1, ahora debería quedar claro que las dos funciones no solo son generalmente diferentes entre sí, sino que describen las cosas desde una perspectiva diferente (tuvimos que ver la curva en la Figura 1 una vez como una función $p (v)$ $p (v)$ $pag (v)$ y una vez como una función $v (p)$ $v (p)$ $v (pag)$ ) Las funciones son complementarias y su estrecha relación se rige por una transformación de Legendre.

$^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Estas también son funciones de $q$ $q$ $q$ Pero eso no es importante. Podrían ser funciones de cualquier número de variables distintas, aunque su lista de variables obviamente será la misma, excepto para $v$ $v$ $v$ y $p$ $p$ $pag$ . De hecho, la transformación Legendre no cambia ninguna de las otras dependencias. Si esto no está claro ahora, debería serlo durante el resto de esta explicación.

$^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Tenga en cuenta que aquí es donde el valor único de la relación entre $v$ $v$ $v$ y $p$ $p$ $pag$ es requerido. Si $v (p)$ $v (p)$ $v (pag)$ era una parábola, por ejemplo, entonces habría ambigüedad sobre qué $p$ $p$ $pag$ corresponde a la $v$ $v$ $v$ nosotros usamos.

Nick Alger · Answer 3

No es una intuición "física" per se, pero creo que la interpretación del análisis convexo de la transformación de Legendre es la más esclarecedora.

Un conjunto convexo se determina de manera única por su soporte de hiperplanos, y la transformación Legendre es una codificación del casco convexo del epígrafe de una función en términos de que es compatible con hiperplanos. Si la función es convexa y diferenciable, entonces los hiperplanos de apoyo corresponden a la derivada en cada punto, por lo que la transformación Legendre es una nueva codificación de la información de una función en términos de derivada.

Aquí hay algunos enlaces que ilustran el concepto:

http://jmanton.wordpress.com/2010/11/21/introduction-to-the-legendre-transform/ (gran explicación en profundidad)

http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/NAIA07/naia07_h3_slides.pdf (perspectiva computacional)

http://maze5.net/?page_id=733 (explicación gráfica / visual en mi sitio web. No tan avanzado, pero con muchas fotos)

Esta es una forma verdadera y útil de ver las cosas, pero de manera crucial no explica por qué la transformación es una involución.

Significado físico de la transformación de Legendre

gsAllan

Vladimir Kalitvianski

Tim

Zhuoran He

Respuestas (3)

Luboš Motl

Vladimir Kalitvianski

Marek

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Entonces, ¿qué necesitamos para una transformación Legendre?

Por que funciona

¿Cómo funciona una transformación Legendre en la práctica?

Ranza

Nick Alger

Jess Riedel

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