Significado físico de la longitud magnética

En primer lugar, la expresión para la longitud magnética que das es incorrecta: falta una raíz cuadrada:$l_B=\sqrt{\frac{\hbar c}{eB}}$.

En segundo lugar, para comprender el significado, realmente no necesita pensar en redes o fases de la función de onda del electrón como lo harían las respuestas anteriores. En cambio, comience pensando en el movimiento de una partícula cargada clásica en un campo magnético. Si tiene una velocidad inicial en la dirección perpendicular al campo, se moverá en un círculo cuyo radio se encuentra a partir de la segunda ley de Newton:$m v^2/R = \frac{e}{c}vB \Rightarrow R=\frac{mvc}{eB}$- el llamado radio de Larmor.

Ahora preguntémonos, ¿cuál sería el radio más pequeño permitido por el principio de incertidumbre? Después de todo, el radio de Larmor$R\propto mv=p$, pero el principio de incertidumbre establece que los dos no pueden ser arbitrariamente pequeños simultáneamente. De hecho, las incertidumbres en la posición y el momento de la partícula están limitadas por$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$. Para una partícula que se mueve alrededor de un círculo,$\Delta x = 2R$mientras$\Delta p = 2mv$. Para minimizar la incertidumbre, debemos reemplazar$mv \to \hbar/R$en la expresión del radio de Larmor (estoy ignorando el factor de 8 aquí, pero buscamos el significado físico, no los números exactos aquí). Esto da$R^2=\frac{\hbar c}{eB}$- ¡cuál es la expresión de la longitud magnética! En otras palabras, la longitud magnética$l_B$tiene el significado físico del tamaño más pequeño de una órbita circular en un campo magnético permitido por el principio de incertidumbre.

El significado físico es la longitud de la trayectoria del electrón a lo largo de la cual este electrón gana un factor de fase comparable con$2\pi$del campo magnético. Normalmente, es bastante grande. Cuando es tan pequeño como la constante de red, significa que el campo magnético es comparable con el campo eléctrico en el átomo, lo cual es una situación bastante rara.

Hay un significado más profundo de la longitud magnética.$l_B$. Es la constante de red de una estructura artificial bidimensional (2D). Consideremos una partícula que se mueve en un plano 2D bajo un campo magnético uniforme perpendicular de fuerza$B$. En mecánica clásica, el sistema es obviamente invariante traslacionalmente bajo cualquier traslación. Sin embargo, en mecánica cuántica no es así, porque lo que entra en la ecuación de Schrödinger es el potencial vectorial correspondiente, que rompe esta simetría. Sin embargo, todavía es posible definir una red artificial con vectores primitivos$\vec{a}$y$\vec{b}$, de modo que la traducción por cualquier$\vec{R} = m\vec{a} + n\vec{b}$sigue siendo una simetría, siempre que el área de la celda unitaria sea$|\vec{a}\times\vec{b}|=l^2_B$. Esto significa que,$l_B$mide la constante de red de esta red artificial.

Para obtener más detalles, consulte el libro The Geometric Phase in Quantum Systems de A. Bohm et al. Además, este artículo es muy útil: PRL49:405 (1982).