Los enlaces químicos del material lo mantienen unido.

Si los imanes en los que está pensando están hechos de metal, entonces el enlace químico es el enlace metálico , que es bastante fuerte. Puedes hacerte una idea de lo fuerte que es si intentas partir una barra de metal en dos. A menos que sea excepcionalmente fuerte, probablemente no lo consiga, pero probablemente sea capaz de sacar una barra magnética de la puerta de un refrigerador, por ejemplo. La fuerza del enlace metálico es mucho mayor que la fuerza magnética.

Irónicamente, la fuente del enlace metálico es también la fuerza electromagnética. Para valores típicos, la fuerza eléctrica es mucho mayor que la fuerza magnética. Puedes hacerte una idea de esto examinando la fuerza entre dos esferas con carga$1\ \mathrm C$. Si las dos esferas están separadas por un vacío y están a una distancia de$1\ \mathrm m$, la fuerza entre ellos es aproximadamente$9\times10^9\ \mathrm N$. Mientras tanto, si una de las esferas se mueve a una velocidad de$1\ \mathrm{m/s}$en el campo magnético de la Tierra, la fuerza magnética que experimenta es aproximadamente$3.2\times10^{-5}\ \mathrm N$.

Esta gran discrepancia es lo que mantiene unidos al imán (ya los átomos).

Los imanes se mantienen unidos de la misma manera que todos los sólidos: enlaces químicos entre las partículas que forman el imán, que en última instancia se deben al electromagnetismo.

Tome dos imanes de nevera que se atraigan, péguelos y sepárelos. Luego tome una pieza ordinaria de metal y tire de sus extremos con aproximadamente la misma fuerza. Esto produce aproximadamente la misma tensión de tracción a la que se somete constantemente un imán de nevera. ¿Te sorprende que el metal no se deshaga en tus manos?

El OP es completamente, totalmente, correcto .

Hay muchos objetos comunes, ejemplo

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetar

donde el campo magnético "auto" es tan fuerte que fácilmente desgarra objetos, moléculas, átomos e incluso fotones.

Tales cosas son el estado común del universo.

En condiciones realmente raras e inusuales (p. ej., los imanes de su refrigerador, en la Tierra), esto no sucede.

Estos imanes terrestres típicos son menos poderosos que otros objetos comunes en el universo y, por lo tanto, no muestran el comportamiento descrito por el OP.

Hoy todos sabemos que en el nivel más bajo conocido, los quarks, que forman los nucleones, estos se mantienen unidos por la fuerza fuerte, y es mucho más fuerte que cualquier otra fuerza a esta distancia, por eso los quarks existen en confinamiento, en nuestro universo (excepto tal vez dentro de los agujeros negros). Ahora los nucleones se mantienen unidos por la fuerza fuerte residual (fuerza nuclear), que es aún mucho más fuerte que cualquier otra fuerza a esta escala.

Los electrones y los núcleos se mantienen unidos por la fuerza EM (los campos eléctricos estáticos de las cargas), aún mucho más fuerte que el campo magnético estático de los imanes en su caso.

Ahora bien, los átomos dentro del imán se mantienen unidos por algo que llamamos enlaces covalentes, y estos son, en contra de la creencia popular, un fenómeno QM. Estos enlaces covalentes se deben a un cierto intercambio de orbitales de electrones, y su efecto es que el enlace covalente es mucho más fuerte que los campos magnéticos estáticos de los imanes de barra en su caso.

Está preguntando qué mantiene unidos los dominios de los imanes, y la respuesta es este enlace covalente.

Como ya indicó, las unidades físicas deben ser consideradas. Cuando se trabaja en unidades SI, la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la intensidad del campo magnético en la radiación EM es igual a 299 792 458 m/s, la velocidad de la luz c.

¿Por qué los campos magnéticos son mucho más débiles que los eléctricos?

Los enlaces covalentes se deben inequívocamente a la interacción electromagnética. La interacción electrostática es solo una aproximación en la que se desprecia la dinámica del campo electromagnético (cuántico) y, a veces, esa aproximación es lo suficientemente buena.

¿Los enlaces covalentes son EM (electrostática/electronegatividad) o no?

Entonces, la respuesta a su pregunta es que el enlace covalente (de las partículas) es mucho más fuerte que la fuerza del campo magnético estático de sus imanes de barra, y eso mantiene unidos los dominios de los imanes.