Significado de una frase críptica de Gauss sobre "la movilidad de las figuras en el plano hiperbólico"

G. Waldo Dunnington escribe en las páginas 189-190 de su biografía de Gauss:

Entre los axiomas de la geometría que no dependen del postulado de las paralelas están los que aseguran la libre movilidad de una figura en el espacio. Esto significa que el espacio es de la misma naturaleza y que cualquier figura puede ser transportada a lo largo de él sin rasgarse, arrugarse o estirarse... ... En una nota fechada alrededor de 1827, Gauss llamó a la superficie curva de constante negativa medida de curvatura generada por rotación de la tractriz (pseudoesfera) la "contraparte de la esfera". Las fórmulas establecidas por él conducen al teorema de que en la pseudoesfera (y sólo en ella) las superficies de rotación son congruentes entre sí y que, conservando esta propiedad, se puede mover un triángulo geodésico sobre la pseudoesfera del mismo modo que se puede mover un triángulo geodésico sobre la pseudoesfera. mover un triángulo esférico sobre una esfera.

También encontré menciones de tales oraciones en el tratado de Paul Stackel sobre las contribuciones de Gauss a la geometría.

Tengo tres preguntas sobre este pasaje citado:

  • En primer lugar, ¿a qué axiomas se refiere Dunnington cuando dice "aquellos que aseguran la libre movilidad de las figuras en el espacio"? ¿Existen realmente "axiomas de libre movilidad"?
  • ¿Cuál es el significado de "en la pseudoesfera las superficies de rotación son congruentes"? hasta donde yo sé, la pseudoesfera es una superficie (¡no un espacio!), entonces, ¿cómo se puede hablar de superficies contenidas en ella? esta oración parece completamente sin relación y oscura.
  • ¿Cuál es el significado de "mover un triángulo geodésico en la pseudoesfera"? En la geometría euclidiana se da por supuesta la rigidez del movimiento, por lo que se puede hablar del movimiento de las figuras sin distorsión, pero ¿cómo se puede hablar lo mismo de la geometría hiperbólica? Realmente quiero entender este punto.

Cada comentario útil será bendecido.

Actualizar :

Creo que el artículo "¿Qué leyó Gauss en el Apéndice?" puede ser muy útil para responder a esta pregunta. En las páginas 22-24 de este artículo, los autores analizan el fragmento relevante (a nuestra pregunta) del nachlass de Gauss (vol 8, p.255-257; Stackel se refiere a estas páginas cuando comenta las fórmulas de Gauss sobre la "movilidad de las figuras" ) - en este fragmento, Gauss asumió un triángulo hiperbólico que cambia con el tiempo (por lo que uno puede verlo como una especie de "movimiento") y analizó las relaciones métricas y angulares del mismo mediante el proceso de ecuaciones funcionales.

Libre movilidad es el término utilizado por Helmholtz y Riemann, significa aproximadamente homogeneidad e isotropía, Helmholtz lo axiomatizó. Uno puede literalmente mover triángulos geodésicos de manera congruente a lo largo de la pseudoesfera porque tiene una curvatura constante. "Las superficies de rotación son congruentes" debería decir "las figuras bajo rotación son congruentes", probablemente un error tipográfico.
Tiendo a estar de acuerdo contigo sobre la segunda pregunta (solo quería asegurarme de que no me estoy perdiendo algo). Pero para mi tercera pregunta, estoy buscando una respuesta más orientada matemáticamente. ¿No está relacionado con esta pregunta mathoverflow.net/questions/303043/… ?
Uno puede derivar la curvatura constante de los axiomas de Helmholtz, pero este no es el sitio adecuado para eso. Puede consultar las referencias en ¿A qué teorema de Sophus Lie sobre el número de geometrías se refiere H. Poincaré?

Respuestas (1)

Las respuestas a su primera y tercera pregunta son las siguientes. La "libre movilidad" de un espacio significa que hay un (pseudo-) grupo de isometrías (locales) (mapas 1-1 que preservan las distancias) que actúa propia y transitivamente sobre pares (punto, base ortonormal en el espacio tangente). Para las superficies, esto significa que siempre que tenga ( pag 1 , v 1 ) y ( pag 2 , v 2 ) dónde pag j son puntos del espacio y v j son direcciones (vectores unitarios tangentes) en estos puntos, hay una isometría única del espacio que envía pag 1 a pag 2 y v 1 a v 2 .

En particular, en cada superficie de curvatura constante existe tal grupo. Si tiene un triángulo en una superficie, puede moverlo a otro lugar para que se conserven los ángulos y las longitudes de los lados. En Euclides este axioma no se establece explícitamente, pero se usa todo el tiempo en la forma de que "los triángulos con dos lados y el ángulo entre los iguales son iguales". La palabra "igual" en Euclides significa "puede moverse para coincidir", es decir, hay un elemento único del grupo mencionado anteriormente que envía un objeto a otro. Es fundamental para la geometría.

El problema de clasificar todas las geometrías (locales) posibles fue planteado por Riemann y Helmholtz y resuelto por Killing. Se llama el problema de Riemann-Helmholtz. En particular, hay tres tipos de geometrías en la dimensión 2 (esférica, hiperbólica y habitual, euclidiana).

A su segunda pregunta no puedo responder, de hecho, no está claro lo que dice el autor.

Observación General. Si quieres aprender matemáticas, no te recomiendo los libros escritos por historiadores. Leer libros escritos por matemáticos. Los historiadores utilizan un lenguaje impreciso y, con frecuencia, no entienden realmente sobre qué están escribiendo. Además, una biografía de Gauss suele ser una fuente pobre para sus matemáticas, aunque puede ser una buena fuente sobre su vida. La mayoría de los escritores de biografías no entienden realmente las matemáticas y confían en otras fuentes para describirlas, con inevitables distorsiones.

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