Sistema de giro de dos niveles en fuerza oscilante.

Si consideramos un sistema de giro de dos niveles con frecuencia ω 0 en presencia de una fuerza oscilatoria con frecuencia ω elegido fuera de resonancia. La fuerza está diseñada para que un estado | ↓ ⟩ siente una fuerza igual pero opuesta a una partícula en estado | ↑ ⟩ . ¿Cómo se seguiría que después de un período de t = 2 π ω 0 − ω , que la fuerza impulsora se ha desfasado y vuelto a desfasar por completo con el sistema oscilante de dos niveles, acelerándolo y decelerándolo hasta su estado de movimiento inicial?

Gracias por cualquier ayuda.

¿Podría ampliar un poco su pregunta y proporcionar un modelo hamiltoniano? ¿Quieres decir algo como H 0 = ω 0 σ z y algunos externos H 1 = ω σ y ?
@ZeroTheHero Sí, definitivamente un H 0 como dijiste y algún campo eléctrico oscilante externo, supongo (aunque el documento dice simplemente como una fuerza oscilante). ¿Esta idea tiene algún sentido para ti?
Ahora que lo pienso, probablemente sea al revés: H 0 = ω 0 σ y y H 1 = ω σ z . De esta manera la contribución de H 1 es tal que la contribución de σ z a | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ es igual pero opuesto. Sin embargo, no estoy seguro de entender el uso de "desfasado" y "refasado".
@ZeroTheHero ¿Qué pasa con H 0 = ω 0 σ z y H 1 = ω σ X ?
Creo que @JDR lo ha resuelto.
@JohnDoe Lo siento, no pude volver antes. La respuesta de JDR está en el camino correcto, pero si desea una imagen más intuitiva, debe considerar usar la imagen de Heisenberg (o interacción) y el eom-s para los promedios de los componentes de espín. Obtiene un sistema lineal con coeficientes dependientes del tiempo que se pueden resolver con bastante facilidad y puede mapear la solución en la esfera de Bloch. Puedo intentar escribir algo más tarde, pero puede tomar un tiempo. Veo que JDR se refiere a un documento, pero no veo un enlace. Ayudaría si pudiera proporcionar uno.
@udrv No hay problema, gracias por su respuesta y la sugerencia, en su mayor parte, la respuesta a continuación parece tener sentido.
@ZeroTheHero Si tienes la oportunidad, echa un vistazo a mi publicación .
@JohnDoe Estoy completamente ocupado en este momento... :(

Respuestas (1)

Creo que aún puede haber algunas ambigüedades potenciales en la pregunta original, pero voy a intentarlo un poco y dejaré que otros participen con contribuciones adicionales. Asumiré que te refieres a un hamiltoniano como H = ω 0 I z + ω 1 porque ⁡ ( ω t ) I y (dónde I ϕ = 1 2 σ ϕ en unidades naturales), ya que implica un campo transversal que oscila en magnitud.

Esto podría tratarse mejor yendo al "marco giratorio" (vamos a girar alrededor del eje z a la misma frecuencia que el I y campo para que parezca constante), en cuyo caso tiene un hamiltoniano transformado H ~ = ( ω 0 − ω ) I z + ω 1 I y .

Aparte: marco giratorio

Puede pensar en el marco giratorio simplemente girando sus vectores propios con un operador de rotación, | ψ ⟩ ~ = R ( − ω t ) | ψ ⟩ , luego preguntando cómo debe comportarse la ecuación de Schrödinger. Aplicando la regla de la cadena y la ecuación de Schrödinger a d d t ( R ( − ω t ) | ↑ ⟩ ) , terminamos con una "ecuación de Schrödinger de marco giratorio" i d d t | ψ ⟩ ~ = H ~ | ψ ⟩ ~ , dónde H ~ = R ( − ω t ) H R ( ω t ) − ω I z . Es la regla de la cadena la que nos da el " − ω I z "término, que es importante aquí.

Véase, por ejemplo, Levitt, Spin Dynamics , p.241

Entonces, el operador de evolución temporal para este hamiltoniano independiente del tiempo es simplemente tu ( t ) = Exp ⁡ ( − i H ~ t ) , y para cualquier función de onda | ψ ( t ) ⟩ = tu ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ . Conectando el marco giratorio hamiltoniano y el tiempo que diste (llámalo T ), tenemos

tu ( T ) = Exp ⁡ [ − i ( ( ω 0 − ω ) I z + ω 1 I y ) ( 2 π ω 0 − ω ) ] = Exp ⁡ [ − 2 π i ( I z + ω 1 ω 0 − ω I y ) ]

Y esto podría ser una mera red 2 π rotación, por lo que cualquier "desfase" se "cambia de fase" en el momento en que llega al período T.

Sin embargo, aquí también es donde me confunde tu pregunta. Puedo ver la posibilidad de que este operador de evolución temporal termine siendo solo una red 2 π rotación alrededor de algún eje, pero tal vez la magnitud ω 1 necesita ser especialmente definido? ¿Es esto lo que quiere decir con "la fuerza está diseñada para que un estado... sienta una fuerza igual pero opuesta..."?

No estoy seguro de a dónde más ir desde aquí, tal vez podría proporcionar un enlace al documento al que se refiere, o alguien podría retomar mi hilo donde lo dejo y tomar el crédito por una respuesta satisfactoria, si este no llegó a lo que te preguntabas :)

editar: para mayor claridad y solo tantos errores.

Lo único que puedo agregar al leer el artículo es mirar la pág. 12, y tenga en cuenta que un detalle que excluí anteriormente es que el porque ⁡ ( ω t ) término se considera en realidad como dos campos giratorios en direcciones opuestas 1 2 ( mi i ω t + mi − i ω t ) , como su expresión escrita en términos de operadores de subida y bajada. Lo siento, no puedo ayudar más que eso.
Parece que esa parte también está a lo largo z .
@JDR Gracias por su respuesta. Sólo algunas preguntas: 1. ¿Podríamos haber considerado en su lugar H ^ = ω 0 I z + ω 1 porque ⁡ ( ω t ) I X , ¿eso también estaría bien? 2. Estás eligiendo R ( t ) = mi i H t ℏ como su operador de rotación? 3. ¿Requeriríamos que tu ( T ) = mi − 2 π σ z para obtener mi resultado citado, gracias.
1. Ciertamente usando I X funcionaría bien también (o incluso cualquier combinación de I X y I y , el punto tiene un campo en el plano transversal). 2. Una rotación que usa los operadores de giro siempre se verá como Exp ⁡ [ i I ϕ θ ] para una rotación de ángulo θ alrededor del eje ϕ = X , y , z . Entonces si el H has escrito eran ℏ ω I y por ejemplo, puedes ver que tendrías una rotación por ángulo ω t alrededor del eje y.
Sistema de giro de dos niveles en fuerza oscilante.
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