Si "Todo S es P" es verdadero, ¿contradice "Ningún no S es no P"?

Tengo un problema que encontré en un libro de texto de lógica que no puedo resolver después de varios intentos.

Digamos que asumimos que "Todo S es P" es verdadero.

¿Nos permite esto concluir el valor de verdad de "No Non-S is Non-P", donde non-X es la clase complementaria de X?

La respuesta de libro de texto es que el valor de verdad no se puede determinar. Sin embargo, parece que puedo probar que la declaración es falsa. Así es como lo hago:

  1. Si "Todo S es P" es verdadero, también es cierto que S se refiere a una colección de objetos que es menor o igual que la colección de objetos a la que se refiere P.
  2. Si S<=P, entonces No Non-P puede ser S.
  3. Por lo tanto, todo No-P debe ser No-S.
  4. Por subalternación, como Todo No-P es No-S, debe haber algún No-P que sea No-S.
  5. Si hay algún No-P que es No-S, entonces hay algún No-S que es No-P.
  6. Si hay algún No-S es No-P, entonces el enunciado "Ningún No-S es No-P" debe ser necesariamente falso, porque es contradictorio con el enunciado anterior, al que se ha llegado mediante inferencias válidas a partir de premisas verdaderas. y por lo tanto debe ser verdadero.

Sin embargo, cuando lo dibujo en un diagrama de Venn para "Todo S es P", hay un caso en el que P se refiere a la colección de TODOS los objetos, lo que significa que No-P no existe, por lo tanto, todo No-S debe ser P Esto admite un caso raro en el que se cumple el enunciado, por lo que el valor de verdad del enunciado es indeterminado.

Ambas líneas de razonamiento parecen correctas, pero contradictorias. ¿Qué salió mal?

Sí, las dos proposiciones son contradictorias en la ogica aristotélica. Su razonamiento ni siquiera se acerca a POR QUÉ las dos proposiciones son contradictorias. Accidentalmente tienes razón. Debe comprender que hay diferentes tipos de lógica con diferentes reglas. Entonces, en lógica matemática, esto no sería una pregunta en absoluto. Nunca se preguntaría. Las reglas de inferencia en la lógica aristotélica mostrarían que las 2 proposiciones que afirmas son de hecho contradictorias. Es decir, ambas proposiciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo, ambas no pueden ser falsas. Si 1 es verdadero el otro debe ser falso y viceversa.
En la lógica aristotélica, puede usar reglas de inferencia como la anulación, la conversión, etc. para demostrar que "Ningún non-s es non-p" es IDÉNTICO (no una equivalencia lógica) al tipo de proposición O: Algunos s no son p. El cuadrado de Oposición muestra que las proposiciones de tipo A son contradictorias con las proposiciones de tipo O. Su razonamiento debería haber estado cerca del tema del razonamiento deductivo, no de su propia invención. Quizás esté confundiendo la lógica ya que todas las lógicas son lo mismo. Quizás pensaste que la lógica es matemática discreta o algo así. Hay más contenido en la lógica que en las matemáticas.

Respuestas (1)

Tienes razón desde el punto de vista "tradicional".

El problema es con la importancia existencial de las proposiciones categóricas :

Si una declaración incluye un término tal que la declaración es falsa si el término no tiene instancias, entonces se dice que la declaración tiene importancia existencial con respecto a ese término. Es ambiguo si un enunciado universal de la forma "Todo A es B" debe considerarse verdadero, falso o incluso sin sentido si no hay A.

En el silogismo tradicional, la inferencia de "Todos los S son P" a "Algunos S son P" ( subalternación ) está autorizada por la suposición de que hay Ss (y también Ps).

En la lógica moderna, mientras que (generalmente) es correcto que "Para todo x Px" implica "Algún x es Px", la traducción moderna de la proposición categórica es: "Para todo x (si Sx, entonces Px)", es decir cierto también cuando no hay Ss, y por lo tanto no podemos inferir correctamente: "Hay algunos x (Sx y Px)".

Formalmente:

∀x(Sx → Px)

es equivalente a:

¬∃x(Sx y ¬Px)

que a su vez es:

∀x(¬Px → ¬Sx) [pasos 1-3].

Ahora tenemos subalternación [paso 4]:

∃x(¬Px y ¬Sx)

lo cual no es correcto desde el punto de vista moderno.

Considere su declaración:

"si P se refiere a la colección de TODOS los objetos, eso significa que no-P no existe";

por lo tanto, ∃x(¬Px & ¬Sx) es falsa : no hay s que no sean P , mientras que ∀x(¬Px → ¬Sx) es vagamente verdadera.

Esto significa que, para la lógica moderna, la inferencia de: ∀x(¬Px → ¬Sx) a ∃x(¬Px & ¬Sx) no es válida .

Esto no significa que ∃x(¬Px & ¬Sx) sea siempre falso : si S permanece para "Peces" y P para "Agua_living", tenemos que "Todos los peces son agua_living" es verdadero , y por lo tanto también "Todos los no -Water_living" no son Peces" [pasos 1-3].

Pero esto no contradice el hecho de que también es cierto "Hay algunos que no viven en el agua que no son peces " .

Esta es la clave de la respuesta del libro de texto:

Un argumento válido es aquel que de premisas verdaderas infiere conclusión verdadera .

Para la lógica moderna, la subalternación no es válida; pero esto no significa que la conclusión sea siempre falsa .

Muchas gracias por la respuesta. Ahora entiendo que la suposición de importancia existencial debe ser válida para que la alternancia secundaria sea válida porque ninguna conclusión puede implicar más que las premisas.
Sin embargo, no puedo entender cómo eso elimina la contradicción anterior. Corríjame si me equivoco (sé que estoy en algún lugar), pero me parece que la importación existencial se asume en ambos casos. La importancia existencial debe ser necesaria para la solidez de los pasos 1-6. La importancia existencial también es clave para que podamos decir que P existe, solo entonces P puede referirse a todos los objetos. ¿Cómo puede una suposición común ser fuente de contradicción?
Su declaración #3 no tiene importancia existencial en el caso de todo-es-P. (Lo declaras como verdadero incluso cuando no hay instancias de no-P).
Si "Todo S es P" es verdadero, ¿contradice "Ningún no S es no P"?
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