si |S∩{1,2,3,…,n}|≥un|S∩{1,2,3,…,n}|≥un|S\cap \{1,2,3,\ldots, n\}|\ge un, etc. muestran que Z+⊂S+TZ+⊂S+T\Bbb Z_{+}\subset S+T

Usando$n=1$vemos$1\in S,T$, por lo menos$0+1,1+1\in S+T$. Para mostrar que$m\in S+T$, basta con tener alguna$k$con$1\le k\le m-1$tener$k\in S$y$m-k\in T$. Si esto falla, sabemos que

$$|S\cap\{1,\ldots,m-1\}|+|T\cap\{1,\ldots,m-1\}|\le m-1.$$ Esto solo es posible si los límites dados son agudos, es decir, $$|S\cap\{1,\ldots,m-1\}|=u(m-1),\quad |T\cap\{1,\ldots,m-1\}|=v(m-1), \quad u+v=1.$$ Como $v>0$, esto implica $$|T\cap\{1,\ldots,m\}|\ge vm>v(m-1)=|T\cap\{1,\ldots,m-1\}|$$ de modo que $m\in T$y entonces $m=0+m\in S+T$.