Si el platonismo matemático es cierto, ¿son entonces las matemáticas un descubrimiento?

Una eterna pregunta metamatemática es si las matemáticas son una invención o un descubrimiento.

Si el platonismo matemático es verdadero, significa que los conceptos matemáticos existen como ideas y, por lo tanto, o eso me parece, las matemáticas son un proceso de descubrimiento de estas ideas matemáticas platónicas. ¿Es esto correcto?

Si por el contrario, el nominalismo es cierto, ahí es donde las matemáticas describen objetos del mundo, ¿es entonces un proceso de invención?

¿Está preguntando específicamente sobre el platonismo y el nominalismo o está preguntando sobre el realismo frente al antirrealismo porque el platonismo y el nominalismo no son los únicos puntos de vista que se incluyen en las categorías de realismo/antirrealismo, por ejemplo, el naturalismo es un realismo no platónico y el formalismo es un antirrealismo? También siento que sus descripciones del platonismo y el nominalismo están redactadas de manera confusa, específicamente lo que describe como platonismo suena mucho más como intuicionismo (los objetos matemáticos son objetos dependientes de la mente) y cómo explicó que el nominalismo suena como un realismo empírico en línea con Quine.
El platonismo dice que los objetos matemáticos son objetos abstractos que existen, no que sean "conceptos que existen como ideas", nuevamente eso es intuicionismo. Sin embargo, la redacción de "describe objetos del mundo" es principalmente a lo que me refería como confuso porque nuevamente suena como el empirismo de Quine de que se requieren números para describir fenómenos físicos y, por lo tanto, son reales. Creo que simplemente usar "realismo" y "antirrealismo" como puntos de vista que está contrastando conduciría a menos ambigüedad y probablemente a una mejor respuesta porque abarca más el problema que se está discutiendo.
@not_here: estoy preguntando específicamente sobre el platonismo matemático y el nominalismo, por eso me referí a ellos; usar el término 'idea' para describir el platonismo me pareció bastante seguro porque así es como se hace referencia a las ideas platónicas (o como formas), habría sido potencialmente confuso si hiciera referencia al intuicionismo en la pregunta, pero no lo hice.
@not_here: personalmente, creo que estás confundiendo el problema (en lugar de aclararlo) al incorporar el intuicionismo en esto; la razón principal por la que hice la pregunta es para desenredar esa castaña canosa sobre descubrimiento/invención...
Todo mi punto es que las explicaciones que usó para describir el platonismo y el nominalismo son confusas porque no suenan como los puntos de vista reales. No estoy tratando de ninguna manera de incluir el intuicionismo en su pregunta, estoy señalando que usted trae la declaración "los conceptos matemáticos existen como ideas" es la definición exacta de intuicionismo, por lo que se vuelve confuso y debería ir con el más general términos de realismo y antirrealismo sin tratar de apelar a escuelas específicas o cambiar sus definiciones porque ahora mismo están empañadas.
@not_here: antes de esa frase que has citado, digo 'platonismo matemático'; así que esta frase tiene/debe ser modificada con ese entendimiento particular, es decir, 'los conceptos matemáticos existen como ideas platónicas'.
"Si las matemáticas describen objetos del mundo, ¿es entonces un proceso de invención?" ¿Estás seguro de la lectura de la dicotomía descubrimiento/invención? La ley de Galileo describe el comportamiento de los cuerpos que caen; es un invento? ¿No ha sido "descubierto"?
@maura allegranza: cada vez que he oído hablar de la dicotomía descubrimiento/invención ha sido en estos términos bastante simplistas en los que no se ha arrojado luz sobre el tema; incorporar la física trae otra dimensión por completo, pero aquí quiero centrarme únicamente en las matemáticas, por ejemplo, las nociones más simples, digamos los números naturales; por eso mencioné 'platonismo matemático', no sé si existe tal noción de platonismo físico. ¿Esta ahí?
Al nivel de "excavación" permitido por un sitio de preguntas y respuestas (y permitido por mi conocimiento limitado), la respuesta es simplemente: SÍ. Consulte una buena revisión del platonismo matemático: Marco Panza y Andrea Sereni, El problema de Platón: una introducción al platonismo matemático , Palgrave (2013). 1/2
Y véase la página 16: carta de Charles Hermite a Thomas Stieltjes, fechada el 13 de mayo de 1894, sobre el tema de su propio estudio: "Creo que los números y las funciones de análisis no son el producto arbitrario de nuestra mente; creo que existen fuera de nosotros, con el mismo carácter de necesidad que las cosas de la realidad objetiva, y que las encontramos, o las descubrimos , y que las estudiamos como los físicos, los químicos, los zoólogos, etc.” 2/2
@Mauro Allegranza: gracias por las referencias; No estaba preguntando si el platonismo matemático era cierto, tenga en cuenta lo importante de antemano : lo estaba vinculando con la cuestión del descubrimiento / invención. Ah, está bien, ahora que lo he leído en otra ocasión, veo que responde de manera útil a mi pregunta.
@Gordan: claro; pero señalaría que la geometría euclidiana todavía juega un papel importante en la geometría no euclidiana, no es simplemente una distinción binaria que a veces parece postularse a menudo; Creo que la palabra superada es útil aquí: la geometría euclidiana se superpone a la geometría no euclidiana.
@MoziburUllah, lo siento, borré eso, pero ¿y si el primer proyecto terrenal de, digamos, los egipcios hubiera sido tal que primero hubieran abstraído una geometría no euclidiana? Solo estoy poniendo esto como un ejercicio de pensamiento.
@gordan: Bueno, habrían descubierto la geometría euclidiana cuando miraron localmente en lugar de globalmente; globalmente, habrían visto geometría no euclidiana y luego alguna chispa brillante habría dicho, espera, si miramos localmente tenemos otra geometría consistente; el problema que tengo con eso es que es más natural mirar localmente antes de mirar globalmente, pero es un ejercicio de pensamiento interesante.
@Gordan: esto se está saliendo del tema, estaba preguntando sobre la dicotomía descubrimiento/invención en relación con el platonismo/nominalismo; por eso puse el 'si' para no enredarme en el debate sobre la verdad del platonismo matemático.
Sí, siento ir por ese camino. Pero me parece que las invenciones en matemáticas provienen de deducciones de "axiomas". Para el descubrimiento, necesitamos un mundo. Necesitamos un problema que nos plantee el mundo.
Debe aclarar varios aspectos de su pregunta, en líneas similares a las sugeridas por @Not_Here. Por un lado, hay versiones realistas del nominalismo, en el sentido de que son realistas del valor de verdad (los teoremas matemáticos son verdades), simplemente no son verdades sobre nada (no son objetos realistas ). Ver Un sujeto sin objeto de Burgess y Rosen .
@Dennis: Estoy contento con la pregunta tal como está. Siempre se pueden hacer distinciones más finas, si una respuesta siente la necesidad de desenredarlas para responder a esta pregunta, entonces las leeré.
@MoziburUllah, la razón por la que dije que necesita aclaración es porque creo que no se puede responder en su forma actual. Al menos, cualquier respuesta se referiría casi por completo al "desenredo". No estoy seguro de si es digno de cerrarse, pero creo que una respuesta medio decente requeriría mucho trabajo para desentrañar. Creo que sus posibilidades de obtener una buena respuesta aumentarían sustancialmente si hiciera un poco de ese trabajo. Obviamente, en última instancia, depende de usted.
@Dennis: yo mismo he hecho algo similar: ha habido preguntas a las que podría haber respondido con una gran cantidad de información complementaria; pero juzgo por el nivel al que se lanza la pregunta. Está escrito de la manera que está porque me incitó una entrevista de tres matemáticos que tocaron este tema de la manera más simple, si hubiera sido más profundo, entonces quizás hubiera hecho una pregunta más profunda.
@MoziburUllah tal vez podría vincular a la entrevista que lo inspiró y extraer algunas de las partes relevantes. Tal vez estén confundidos acerca de algunas distinciones filosóficas, tal vez digan algo que aclare el significado pretendido.
@Dennis: Creo que la entrevista se dirigió a un laico educado en general, en lugar de especialistas en filosofía.
@dennis: aquí está la entrevista de radio : dura media hora; escuche y luego pregunte si he formulado mal la pregunta teniendo en cuenta lo que me inspiró.

Respuestas (2)

Podríamos pasar por las permutaciones de platonismo, nominalismo, intuicionismo, empirismo y ficcionalismo. El meollo de la pregunta es si, si el platonismo es verdadero, podemos descubrir y de hecho descubrimos verdades matemáticas.

El platonismo es más o menos la opinión de que "existe un reino de objetos matemáticos independientes de la mente (conjuntos, números) cuyas propiedades los matemáticos intentan describir" ((P. Kitcher, "The Nature of Mathematical Knowledge", Oxford, 1984, 58). Al postular un reino independiente de la mente, el platonismo es una forma de realismo. Hay formas no platónicas de realismo matemático, razón por la cual el "realismo" aparece en la lista, pero las evito aquí ya que la pregunta se centra en el platonismo, o platónico. realismo, concretamente.

Los objetos matemáticos son abstractos en el sentido de que no tienen ubicaciones espacio-temporales (Kitcher, 58). No está claro cómo vamos a obtener conocimiento de ellos; el conocimiento causal queda descartado ya que los objetos abstractos no pueden entrar en relaciones causales con nuestras mentes ni con ninguna otra cosa (Kitcher, 59). Sin embargo, dado que los objetos matemáticos pertenecen a una realidad independiente de la mente, cualquier conocimiento que podamos obtener sobre ellos es un descubrimiento, no una invención. Si pudiéramos inventarlos, no serían independientes de la mente.

El nominalismo se basa en la convención, un acuerdo (tácito o explícito) para usar la notación matemática de ciertas maneras. No hay mayor profundidad en las matemáticas que eso. Si la convención implica invención, entonces el nominalismo implica invención matemática. El empirismo y el ficcionismo apoyan la invención de formas diferentes entre sí y del nominalismo. Mozibur necesita aclarar la visión particular que quiere oponer y contrastar con el platonismo. Esto solo necesita tiempo e investigación.

El libro de Kitcher, citado anteriormente, es útil al igual que P. Benacerraf & H. Putnam, eds, 'Philosophy of Mathematics', 2nd ed. (1984) y mucho más recientemente Mark Colyvan, 'Introducción a la filosofía de las matemáticas' (2012) y S. Shapiro, 'Pensando en las matemáticas' (2001).

"el conocimiento causal está descartado ya que los objetos abstractos no pueden entrar en relaciones causales con nuestras mentes o cualquier otra cosa" Supongamos que obtengo conocimiento causal de que "A" y "A=>B" de alguna manera. Entonces, en principio, debería saber B, pero en la práctica puede que no; puede implicar trabajo computacional. Podríamos llamar a "A, A=>B significa B" un objeto platónico. Así que digamos que hago el cálculo y llego a B. Entonces, claro, el objeto no me hace conocer B; más bien, el cálculo lo hace. Pero, ¿hay alguna razón para afirmar que el objeto no puede forzar el resultado del cálculo si se realiza para que sea B?
&H. Walters. 'Entonces, claro, el objeto no me hace conocer B'. ¿No es ese mi reclamo básico? El cómputo puede brindarle la información relevante sobre el objeto abstracto, pero ¿se deduce que el objeto cumplió algún papel causal en el cómputo? El cálculo puede ser determinado por un programa de ordenador.
Creo que estamos cruzando cables. Decir esto: "el cómputo puede darte la información relevante sobre el objeto abstracto" ...sería conceder que hay una forma de acceder al objeto; es decir, computación. Esto: "¿Se sigue que el objeto cumplió algún papel causal en el cómputo?" ... ni siquiera tiene en cuenta mi pregunta en absoluto. IOW, lo que realmente estoy preguntando es esto: "No está claro cómo vamos a obtener conocimiento de ellos". (Y aquí, solo me enfoco en la visión platónica, según su interpretación).
@H Walters. Gracias por tomar mi pregunta en serio. Estoy completamente de acuerdo en que no está claro cómo vamos a obtener conocimiento de ellos.

La respuesta a la pregunta si-entonces es "Sí". El texto describe dos puntos de vista populares que parecen presentar una pregunta de uno u otro. Sin embargo, este podría no ser el caso porque inventar/descubrir no son una buena alternativa en un marco neutral.

Richard Rorty ha expuesto con cierto detalle cómo los vocabularios dan forma a la creación y resolución de problemas. Siguiéndolo, parece razonable admitir que 'descubrir' es la palabra adecuada dentro de un vocabulario platónico, mientras que 'inventar' pertenece a algún otro. Pero sería incoherente decir en un marco platónico que los objetos matemáticos se inventan.

Las opiniones de NB Rorty se encuentran en Phislosophy and the Mirror of Nature . Leerlo debería hacer evidente que no hay problemas en la Naturaleza (ritmo Popper).

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