Si cambiamos los vectores de cualquier manera en un sistema de coordenadas cartesiano, ¿no cambia el significado del vector?

No estaba hablando en ese sentido. Simplemente significa que un vector se describe mediante una flecha en el espacio que tiene una dirección y una longitud específicas. Ahora bien, no importa si esta flecha se mueve en el espacio sin cambiar su dirección y longitud, seguirá siendo el mismo vector.

Por ejemplo, considere un vector que punto desde$(1,1,1)$a$(2,2,2)$. Entonces el vector dado por

Si desplazamos este vector en cierta cantidad, digamos$(1,2,3)$, entonces el punto se desplazará a$(2,3,4)$y$(3,4,5)$pero todavía vector dado por

Ahora, si le agrega un contenido físico. Por ejemplo, supongamos$\vec{A}(x,y)$describir un flujo de viento en el punto$(x,y)$. Ahora bien, si desplazamos cada punto una cantidad de$(1,1,1)$, el campo vectorial cambiaría. Por supuesto, la situación cambiará. Ahora el flujo de viento es incorrecto. Pero de nuevo, el vector que fue en algún momento$(x_0,y_0)$será el mismo vector que está ahora$(x_0+1,y_0+1)$en el sentido de que su longitud y dirección es la misma que antes.

Editar: aunque en física, uno podría querer categorizar estos casos. Así uno define

• Vectores gratis Una velocidad similar a un vector de un cuerpo que experimenta un movimiento de traslación uniforme, que puede desplazarse paralelamente a sí mismo y aplicarse en cualquier punto.
• Vector deslizante : una fuerza similar a un vector que se aplica a un cuerpo rígido sujeto a un punto fijo, que solo puede desplazarse a lo largo de la línea que contiene el vector.
• Vector ligado Un vector similar a la velocidad del viento en un punto dado del espacio, que se refiere a un punto fijo.

Su preocupación por el cambio de vectores está bien fundada. El problema se origina en la descuidada introducción a los vectores que suele presentarse en los cursos de introducción a la física. El video al que te refieres no es muy diferente.

Permítanme comenzar enfatizando dónde están los problemas. Desde el punto de vista matemático, la idea de que un vector paralelo desplazado es el mismo vector requeriría identificar todos los vectores paralelos desplazados. Si falta eso, habría más de un elemento neutro o más de un inverso aditivo, al contrario de los simples teoremas del álgebra lineal. Sin embargo, tal identificación entra en conflicto con algunas de las aplicaciones en física. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza a un cuerpo rígido, el punto exacto de aplicación es importante para el movimiento resultante. Por lo tanto, un principiante puede sentirse incómodo con tales contradicciones. Alguna solución parcial puede provenir de la introducción de vectores calificados (vectores libres, vectores localizados, vectores deslizantes, etc.). Nunca encontré satisfactoria una diferencia tan puramente terminológica.

En realidad, los matemáticos han identificado claramente dos conjuntos relacionados pero diferentes. Por un lado, los espacios vectoriales , que en 1, 2 o 3 dimensiones pueden ser representados gráficamente por el conjunto de todas las flechas partiendo de un punto especial. Por otro lado, los espacios afines , es decir, un espacio de puntos tal que a cada par de puntos se asocia un vector. Un espacio afín se comporta como un espacio vectorial multiorigen . Todo enunciado sobre traslaciones de vectores es en realidad un enunciado válido en un espacio afín. En este mayo, es posible distinguir claramente los llamados vectores libres y localizados.