¿Cuál es el significado de las coordenadas si usamos un sistema de coordenadas polares?

En general, las coordenadas de un vector se definen como sus proyecciones sobre el eje de coordenadas. Además, en un sistema de coordenadas polares, los vectores base mi ^ ϕ , mi ^ r depende de la ubicación.

Para ser concretos, supongamos que queremos describir un objeto que comienza en a → = ( 1 , 1 ) X , y = ( 2 , 45 ∘ ) r , ϕ y termina en a → = ( 1 , − 1 ) X , y = ( 2 , − 45 ∘ ) r , ϕ .

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¿Cómo podemos entender las coordenadas en el sistema de coordenadas polares en términos de proyecciones sobre el eje de coordenadas, mi ^ ϕ , mi ^ r ? En particular, ¿qué vectores base usamos? (Esto no es trivial ya que los vectores base mi ^ ϕ , mi ^ r depende de la ubicación. Por lo tanto, si usamos los vectores base en la ubicación a la que apuntan nuestros vectores, siempre encontraremos cero para la proyección sobre mi ^ ϕ lo que obviamente está mal).

Respuestas (1)

Lo que ha encontrado es la diferencia entre espacios afines y espacios vectoriales. Los espacios afines son solo un montón de puntos sin origen (aunque sus coordenadas pueden tener un montón de ceros, no significa nada físicamente, a diferencia del vector nulo en un espacio vectorial, que es la identidad de suma).

En espacios afines, los vectores entran como la diferencia entre puntos, por lo que al usar coordenadas cartesianas podemos sustituir el punto ( X , y ) con el vector definido por:

v → ( X , y ) ≡ ( X , y ) − ( 0 , 0 )

lo que nos da la falsa impresión de que un punto es un vector.

No lo es.

Cuando lo trata como un vector y generaliza las coordenadas, se encuentra con el mismo problema que generó su pregunta.

No está exactamente claro lo que está preguntando, pero parece lo que se conoce como "El primer problema geodésico" ( https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesy#Geodetic_problems ), que es:

"Dado un punto (en términos de sus coordenadas) y la dirección (acimut) y la distancia de ese punto a un segundo punto, determine (las coordenadas de) ese segundo punto".

Las coordenadas de los dos puntos indicados en la ilustración anterior son ( 2 , 45 ∘ ) r , ϕ y ( 2 , − 45 ∘ ) r , ϕ . Pero estas no son las proyecciones de los vectores. a → y b → en los ejes de coordenadas en las ubicaciones correspondientes. Como podemos ver en la figura, las proyecciones producen ( 2 , 0 ∘ ) r , ϕ y ( 2 , 0 ∘ ) r , ϕ . Entonces mi pregunta realmente es, ¿en qué sentido podemos entender las coordenadas ( 2 , 45 ∘ ) r , ϕ y ( 2 , − 45 ∘ ) r , ϕ en términos de proyecciones sobre ejes de coordenadas?
¿O esto solo tiene sentido cuando consideramos un campo vectorial? v → ( X → ) en lugar de un vector aislado? El campo vectorial asigna un vector a cada punto en nuestro, digamos, espacio real bidimensional R 2 ? Puedo imaginar que en este caso, necesitamos usar las proyecciones sobre los ejes de coordenadas en las ubicaciones correspondientes para determinar las coordenadas de v → ( X → ) en coordenadas esféricas?!
@jak Los puntos viven en espacios afines, no en espacios vectoriales. De la entrada de espacio afín de wikipedia: "en un espacio afín, no hay un punto distinguido que sirva como origen. Por lo tanto, ningún vector tiene un origen fijo y ningún vector puede asociarse de manera única a un punto". Y viceversa. Los puntos no son vectores y no (no pueden) tener proyecciones sobre otros vectores.
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