Si AμAμA^\mu no está determinado únicamente por las ecuaciones de Maxwell, ¿qué sucede si lo resolvemos numéricamente?

Question

Si AμAμA^\mu no está determinado únicamente por las ecuaciones de Maxwell, ¿qué sucede si lo resolvemos numéricamente?

Física
determinismo
teoría de calibre
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell
condiciones de borde

Lucas

Dada una solución $A^{\mu}(x)$ a las ecuaciones de Maxwell

\begin{matrix} (1) & ◻ A^{m} (X) - \partial^{m} \partial_{v} A^{v} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \Box A^{\mu}(x)-\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0\tag{1} \end{equation}$ que también satisface algunas condiciones iniciales especificadas en el tiempo

t_{0}

$t_0$

\begin{matrix} (2) & A^{m} (\vec{X}, t_{0}) = F^{m} (\vec{X}), {\dot{A}}^{m} (\vec{X}, t_{0}) = {gramo}^{m} (\vec{X}) \end{matrix}

$\begin{equation} A^{\mu}(\vec{x},t_0)=f^{\mu}(\vec{x}),\quad \dot{A}^{\mu}(\vec{x},t_0)=g^{\mu}(\vec{x})\tag{2} \end{equation}$ tenemos que la función

\begin{matrix} (3) & A^{^{'} m} (X) = A^{m} (X) + \partial^{m} α (X) \end{matrix}

$\begin{equation} A^{'\mu}(x)=A^{\mu}(x)+\partial^{\mu}\alpha(x)\tag{3} \end{equation}$ también satisface las ecuaciones de movimiento, y si disponemos que la función escalar

α

$\alpha$ también satisface eso

\begin{matrix} (4) & \partial^{m} α (\vec{X}, t_{0}) = 0, \partial^{m} \dot{α} (\vec{X}, t_{0}) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \partial^{\mu}\alpha(\vec{x},t_0)=0,\quad \partial^{\mu}\dot{\alpha}(\vec{x},t_0)=0 \tag{4} \end{equation}$ en el momento inicial

t_{0}

$t_0$ , entonces la nueva solución

A^{^{'} μ}

$A^{'\mu}$ también satisface las condiciones iniciales. Por ejemplo, la función

α (\vec{X}, t) = (t - t_{0})^{5} h (\vec{X}) {mi}^{- (t - t_{0})^{2}}

$\begin{equation} \alpha(\vec{x},t)=(t-t_0)^5h(\vec{x})e^{-(t-t_0)^2} \end{equation}$ satisface las condiciones de la Ec.

(4)

$(4)$ y también desaparece en

t \to \pm \infty

$t\rightarrow \pm \infty$ . Por lo tanto, la solución a la Ec.

(1)

$(1)$ no está determinada únicamente por los datos iniciales Eq.

(2)

$(2)$ .

Pregunta: Si se simula la Ec. $(1)$ numéricamente en una computadora, ¿por qué la configuración del campo en un momento posterior no está determinada únicamente por los datos en la Ec. $(2)$ ?

AccidentalFourierTransformar

Pruébelo y simule usted mismo. Alerta de spoiler: no podrá hacerlo, al menos no sin arreglar primero el indicador. Resolver numéricamente una PDE requiere, por ejemplo, invertir una matriz/resolver un sistema lineal. Esto no funciona cuando tiene invariancia de calibre, porque la matriz es singular.

parker

@AccidentalFourierTransform Esto no es del todo cierto. Sus valores numéricos pueden o no converger en una solución, según el algoritmo. Algunas técnicas implican resolver un sistema lineal y fallarán, pero muchas técnicas, por ejemplo, convergerán trivialmente a la solución.

α \equiv 0

$\alpha \equiv 0$ . El problema es la no unicidad, no la inexistencia.

AccidentalFourierTransformar

@tparker Nunca dije nada sobre la inexistencia. Un sistema lineal con matriz singular tiene un número infinito de soluciones. Así que estamos de acuerdo en que el problema es sobre la no singularidad, no sobre la inexistencia.

parker

@AccidentalFourierTransform Correcto. Por lo tanto, su afirmación "no podrá" generalmente no es correcta. Su algoritmo bien puede converger a una de las infinitas soluciones.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/20071/2451

Jinawee

Si uno simula la ecuación (1) numéricamente en una computadora, ¿por qué la configuración del campo en un momento posterior no está determinada únicamente por los datos de la ecuación (2)? No creo que la suposición sea cierta. Aunque la solución no es única, su algoritmo puede converger a una solución particular. Toma la ecuación ordinaria

x^{2} = 1

$x^ 2=1$ . Si aplica el método de bisección en el intervalo

[0, 2]

$[0,2]$ , encuentras la solución

x = 1

$x=1$ , aunque te falte

x = - 1

$x=-1$ . Es posible que otros métodos no converjan. Así que creo que sin especificar un método numérico en particular, las respuestas van a ser muy vagas.

Respuestas (2)

Si AμAμA^\mu no está determinado únicamente por las ecuaciones de Maxwell, ¿qué sucede si lo resolvemos numéricamente?

Pruébelo y simule usted mismo. Alerta de spoiler: no podrá hacerlo, al menos no sin arreglar primero el indicador. Resolver numéricamente una PDE requiere, por ejemplo, invertir una matriz/resolver un sistema lineal. Esto no funciona cuando tiene invariancia de calibre, porque la matriz es singular.
@AccidentalFourierTransform Esto no es del todo cierto. Sus valores numéricos pueden o no converger en una solución, según el algoritmo. Algunas técnicas implican resolver un sistema lineal y fallarán, pero muchas técnicas, por ejemplo, convergerán trivialmente a la solución. $\alpha \equiv 0$ . El problema es la no unicidad, no la inexistencia.
@tparker Nunca dije nada sobre la inexistencia. Un sistema lineal con matriz singular tiene un número infinito de soluciones. Así que estamos de acuerdo en que el problema es sobre la no singularidad, no sobre la inexistencia.
@AccidentalFourierTransform Correcto. Por lo tanto, su afirmación "no podrá" generalmente no es correcta. Su algoritmo bien puede converger a una de las infinitas soluciones.
Si uno simula la ecuación (1) numéricamente en una computadora, ¿por qué la configuración del campo en un momento posterior no está determinada únicamente por los datos de la ecuación (2)? No creo que la suposición sea cierta. Aunque la solución no es única, su algoritmo puede converger a una solución particular. Toma la ecuación ordinaria $x^ 2=1$ . Si aplica el método de bisección en el intervalo $[0,2]$ , encuentras la solución $x=1$ , aunque te falte $x=-1$ . Es posible que otros métodos no converjan. Así que creo que sin especificar un método numérico en particular, las respuestas van a ser muy vagas.

Ján Lalinský · Answer 1

No todos los problemas de valor inicial tienen solución única. tu ejemplo de $\alpha$ función demuestra que este problema de valor inicial es de este tipo.

En este caso, el problema está en el sistema de ecuaciones diferenciales parciales

\partial_{v} \partial^{v} A^{m} - \partial^{m} \partial_{v} A^{v} = 0

$\partial_\nu\partial^\nu A^{\mu}-\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0$ sí mismo; no pone suficiente restricción en las funciones

φ (x, t), A (x, t)

$\varphi(\mathbf x,t), \mathbf A(\mathbf x,t)$ . Es algo similar a una situación en álgebra lineal que a veces ocurre donde un sistema de

n

$n$ ecuaciones lineales para

n

$n$ incógnitas tiene infinidad de soluciones.

Una forma ligeramente diferente de ver esto: observe que en ninguna parte del sistema PDE anterior podemos encontrar $\partial_t^2 A^0$ o $\partial_t A^0$ directamente; sólo un gradiente espacial de $\partial_t A^0$ está presente. Las ecuaciones para $A^i$ no los relacionan directamente con las derivadas temporales de $\varphi$ .

Esto significa que si tenemos una solución del problema de valor inicial $\varphi(x,t),\mathbf A(x,t)$ y reemplace el potencial escalar por $\varphi' = \varphi(x,t)+ht^2$ en el momento $t = 0$ (dónde $h$ es una constante), las ecuaciones aún se cumplen y en $t=0$ , las condiciones iniciales también se cumplen. Esto no sería tan obviamente posible si el sistema contuviera directamente derivadas temporales de $\varphi$ . Considere un sistema ligeramente diferente

\partial_{v} \partial^{v} A^{m} = 0,

$\partial_\nu\partial^\nu A^{\mu}= 0,$ (que en la teoría EM se puede derivar como resultado de la elección del calibre de Lorenz) - esto restringe

\partial_{t}^{2} φ

$\partial_t^2 \varphi$ , por lo que el argumento anterior falla. Creo que este sistema debería tener una solución única, porque es muy similar a un conjunto de ecuaciones para osciladores armónicos independientes. Sin embargo, para una prueba mejor consulte con los matemáticos.

parker · Answer 2

parker

¿Estás pidiendo la explicación física o matemática? La respuesta de Dan Yand da la explicación física.

Con respecto a la pregunta matemática: ¿Sobre qué base esperaría que la configuración del campo esté determinada únicamente por sus datos iniciales? A diferencia de las EDO (desacopladas), no existe un teorema en ese sentido para las EDO de segundo orden homogéneas lineales generales.

AccidentalFourierTransformar

El problema no es sobre PDE vs ODE. Hay sistemas de partículas puntuales con simetrías de calibre, y cuya evolución temporal no está fijada únicamente por las ecuaciones de movimiento. Y viceversa: hay sistemas de campo cuya evolución temporal está fijada únicamente por las ecuaciones de movimiento (por ejemplo, la ecuación de calor/Schrödinger). El problema es sobre la invertibilidad del operador diferencial, equiv. sobre la existencia de una función de Green única. Pueden aparecer obstrucciones tanto si el sistema es unidimensional como si no.

AccidentalFourierTransformar

Un Lagrangiano de la forma

L (q_{1}, q_{2}) = f (q_{1} - q_{2})

$L(q_1,q_2)=f(q_1-q_2)$ , por arbitrario

f

$f$ , es invariante bajo

q_{i} (t) \to q_{i} (t) + η (t)

$q_i(t)\to q_i(t)+\eta(t)$ . El sistema tiene una simetría de calibre. Te dejo esto para que elijas algunos específicos.

f

$f$ y calcule Euler-Lagrange. Obtienes dos ecuaciones de movimiento redundantes, por lo que solo una ecuación independiente para dos grados de libertad. Ninguna solución única. Etc. (Y si solo vamos a citar referencias, permítanme citar a Henneaux, Teitelboim "Quantization of Gauge Systems", que es un libro sobre partículas puntuales, no campos).

parker

@AccidentalFourierTransform Ups, tienes razón. Quise decir que una función

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no puede tener una libertad de calibre, pero puede evitarlo agregando más variables en cualquier extremo de la flecha. Editado para aclarar.

AccidentalFourierTransformar

Un sistema con un solo grado de libertad, si tiene una simetría de calibre, no tiene ningún grado de libertad efectivo. Entonces su dinámica es puramente topológica y/o debida a restricciones. Por ejemplo, una partícula puntual relativista, en el formalismo invariante de reparametrización, tiene una simetría de calibre, y todavía es

R \to R

$\mathbb R\to\mathbb R$ .

parker

@AccidentalFourierTransform Describiría una partícula puntual (ya sea relatvista o no) con trayectoria

(t (τ), x (τ))

$(t(\tau), x(\tau))$ como siendo descrito por una función

R \to R^{2}

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ , no

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

parker

Expresando la trayectoria como

x (t)

$x(t)$ fija efectivamente un indicador y gasta la libertad del indicador.

Jinawee

¿Qué crees que sucedería si reemplazas la ecuación en un integrador numérico? Supongo que la solución podría depender del tamaño del paso. Pero tal vez algún integrador siempre dé la misma solución. ¿O nunca convergen?

parker

@jinawee Esa es solo la pregunta general de qué sucede si intenta integrar numéricamente un PDE con infinitas soluciones. Como dijiste, creo que pueden suceder muchas cosas diferentes, dependiendo de tu algoritmo, incluidas todas las posibilidades que mencionas. Pero dado que las condiciones iniciales son idénticamente cero, sospecho que la mayoría de los métodos convergerían trivialmente a la solución

α \equiv 0

$\alpha \equiv 0$ .

anomalía quiral

@tparker Eliminé mi respuesta. (El OP confirmó que no abordó la pregunta y, después de revisar las cosas, puedo ver que AFT tenía razón. La pregunta era clara y no la entendí al principio porque... bueno, no hay excusas). quería informarle en caso de que desee editar su respuesta para eliminar la referencia a mi respuesta ahora eliminada.

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Lucas

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parker

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parker

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anomalía quiral

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