¿Cómo se encuentra el campo magnético correspondiente a un campo eléctrico?

Si nos dan el campo eléctrico mi → ¿Cómo puedo encontrar el campo magnético correspondiente? ¿ Creo que puedo usar las ecuaciones de Maxwell ? En particular, ∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t ? ¿Pero está completamente determinado? ¿Ya que solo tenemos una derivada parcial?

Respuestas (2)

No puedes, también necesitas saber la corriente j → .

Cualquier campo vectorial se especifica mediante su componente transversal y su componente paralelo (es decir, su componente con rotacional distinto de cero y su componente con gradiente distinto de cero). Por lo tanto, conociendo el rotacional y el gradiente de un campo vectorial, se puede calcular el propio campo. De la ecuación de maxwell II y IV tenemos

∇ → ⋅ B → = 0 ∇ → × B → = ϵ m ∂ mi → ∂ t + m j →

Debería j → = 0 y la densidad de carga ρ = 0 (por ejemplo, estás hablando de ondas electromagnéticas), esto produce mi → = B → × v → . Ver wikipedia para más detalles.

Gracias Fernando. j → , ρ son de hecho 0 . ¿Puedo preguntar qué es v → y ¿por qué es cierta esa relación?
@Gerry: Hola Gerry, Ferdinando en realidad habla de la fuerza magnética de Lorentz F = q ( v → × B → ) = B q v s i norte θ cual ⟹ mi = F q = B v s i norte θ
Por supuesto. v → es la velocidad de la onda. Para ondas electromagnéticas tiene la dirección del vector de onda y el módulo. v = 1 / ϵ m . No recuerdo una demostración, pero puedes encontrarla aquí en wikipedia @CrazyBuddy: la ecuación que escribiste es verdadera, pero la mía también lo es (para ondas electromagnéticas).
@FerdinandoRandisi: Hola Ferdinando, creo que ya está disponible en las ecuaciones de Maxwell y varios otros enlaces relacionados...
@CrazyBuddy: No veo la ecuación que escribí en la página de ecuaciones de Maxwell. Pero lo veo en la página sobre ondas electromagnéticas (enlacé la página incorrecta en mi comentario anterior): es la última ecuación de una sola línea.
@FerdinandoRandisi: Ah, ahora veo que está revisado. No me di cuenta de la revisión. Pero, todavía está en varios enlaces relacionados en esa página Wiki :-)

El campo magnético no está completamente especificado. Se requiere una condición de contorno. Una descomposición simple, usando las funciones de Green y varios teoremas integrales, muestra esto:

B ( r ) = ∫ V r − r ′ 4 π | r − r ′ | 3 × m 0 ϵ 0 ∂ mi ( r ′ ) ∂ t d V ′ + ∮ ∂ V r − r ′ 4 π | r − r ′ | 3 B ( r ′ ) ⋅ d S ′ + ∮ ∂ V r − r ′ 4 π | r − r ′ | 3 × [ B ( r ′ ) × d S ′ ]

dónde r , r ′ son vectores. Las dos últimas integrales corresponden a un campo vectorial que obedece ∇ 2 = 0 --es armónico, o más bien, es una solución homogénea a esta ecuación diferencial, mientras que el primer término es la solución particular.

Si puede elegir una superficie en la que el campo magnético sea cero (por ejemplo, en el infinito), entonces el primer término integral especifica completamente el campo. Sin embargo, aunque esta condición de contorno casi siempre está implícita en la teoría EM, usarla aquí hace que la primera integral sea muy difícil de calcular a menos que uno use algo de inteligencia.

Si las densidades de carga y corriente son cero en todas partes, entonces es bien sabido que las soluciones resultantes son ondas EM, para las cuales los campos E y B son completamente ortogonales, de igual magnitud (dentro de factores de constantes) y mutuamente ortogonales con la dirección de propagación. Esto, creo, es a lo que se refería Ferdinando.

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