Serie de Potencias Solución a la Ecuación Diferencial con Condiciones Iniciales

Estoy tratando de encontrar la solución a$y''-2xy'+10y=$dado$y(0)=0, y'(0)=3$.

Mi trabajo hasta ahora:

$$\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2} -2 \sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1} +10\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -2\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n} +10\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2} -2 na_n+10 a_n]x^n=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2} +8 a_n]x^n=0$$ $$(n+2)(n+1)a_{n+2} +8a_n=0, n=0,1,2,...$$ $$a_{n+2} = \frac{-8a_n}{(n+1)(n+2)}, n=0,1,2,...$$ El siguiente paso es encontrar la relación de recurrencia y la forma generalizada para $a_n$, pero estoy teniendo problemas con esto. sé conectarme $n=0$, $n=1$, y así sucesivamente hasta que la relación se reduzca a $a_0$y $a_1$términos, pero parece que no puedo encontrar con éxito la forma general. ¿Algún consejo o sugerencia?