Serie de Fourier de onda modulada de un solo tono

Cuando una señal de modulación continua de un solo tono modula una portadora sinusoidal ... ¿no podemos aplicar series de Fourier y determinar los componentes de frecuencia armónica?

$\cos(\omega_m t) \cdot \cos(\omega_ct) = \dfrac{\cos[(\omega_m + \omega_c) t] + \cos[(\omega_m - \omega_c) t]}{2}$

¿No es el contenido de frecuencia evidente por inspección?

Si el tipo de modulación de la que hablas es FM, entonces el contenido espectral depende de su índice de modulación (M o$\beta$). La ecuación completa para la salida es (solo para una entrada sinusoidal):

El término dentro del coseno no es fácil de aislar.

Con algo de álgebra se puede separar usando funciones de Bessel:

Entonces puede ver que esta señal tiene componentes de frecuencia en$f_c + n*f_m$. donde n es$-\infty$a$+\infty$. Impactante ¿no? La función de Bessel$J_n\{\beta\}$tiende a acercarse a cero en valores grandes de n, pero es contrario a la intuición ver todo este contenido de frecuencia.

Entonces, una simple modulación de onda sinusoidal a la frecuencia Fm puede producir una variedad de espectros dependiendo de su índice de modulación (M o$\beta$) que es una relación del cambio en la desviación de frecuencia ($\Delta$f) a la frecuencia máxima de la señal modulada ($f_{m(max)}$). Vea las gráficas para diferentes valores de M para el mismo tono de modulación en frecuencia$f_m$dónde$M=\frac{\Delta f}{f_m}$

En realidad, se aplica la Regla de Carson para limitar el contenido espectral a alrededor del 98% de toda la energía. Este ancho de banda es el doble de la desviación de frecuencia más la frecuencia máxima del contenido de modulación de entrada.

Entonces, para responder a su pregunta, el contenido espectral no está necesariamente relacionado directamente con los espectros de la señal modulada con FM. Es periódico, claro, pero hay mucho contenido. Si conocía los parámetros de modulación exactos, podría intentar trabajar hacia atrás y estimar la entrada modulada en función de las amplitudes relativas y las frecuencias espectrales.

Sí, es periódica, siempre que las frecuencias de la señal moduladora y la portadora estén relacionadas por una razón racional. Por ejemplo, si el periodo de la portadora es de 3 segundos y el del modulador es de 2 segundos entonces la señal será periódica con un periodo de 6 segundos. En tal caso, puede usar la serie de Fourier para encontrar el espectro si lo desea. Pero si el período del transportista es$\pi$segundos y el del modulador es de 2 segundos, entonces la señal nunca se repetirá del todo, por lo que no puede usar la serie de Fourier. Sospecho que usar la serie de Fourier generalmente será más complicado y más difícil que usar una transformada continua de Fourier de todos modos.