¿Por qué el biespectro no se usa comúnmente en física experimental?

Se usa mucho en cosmología. A menudo, en una aproximación decente, las cantidades que tratamos de medir en cosmología (por ejemplo, mapas de polarización y temperatura CMB, distribuciones de galaxias) son realizaciones de procesos aleatorios gaussianos en una aproximación decente, pero tienen (o se predice que tendrán) interesantes no- Características gaussianas en algún nivel bajo. La gente estima el biespectro de estas cosas todo el tiempo para controlar varios efectos no gaussianos.

Estos objetos se utilizan todo el tiempo. Las matemáticas se hacen en términos de campos cuánticos, lo que hasta cierto punto oculta lo que está pasando.

Por ejemplo, su "coherencia (dominio de frecuencia)" es un coeficiente de correlación , que está normalizado, mientras que los físicos suelen trabajar en términos de funciones de correlación, que normalmente no lo son, pero en gran medida equivalen a lo mismo. tus observables$X(f_1)$, etc., se construyen como funciones de frecuencia, sin embargo, este es un objeto singular en la teoría cuántica de campos. En la teoría cuántica de campos, en cambio, construimos observables$\phi(F_1)$, etc., como funcionales de funciones de prueba$F_1(x)$, etc. Una opción singular sería$F_1(x)=\exp(if_1\cdot x)$, que hace$\phi(F_1)$esencialmente el mismo objeto que su$X(f_1)$; es singular , sin embargo, porque$F_1(x)$no es integrable al cuadrado.

Otra opción de función de prueba singular es, por supuesto,$\delta(x-y)$, que da el valor del campo en un punto, que podríamos escribir en sus términos como algo así$X(y)$. Para un campo cuántico, este también es un objeto bastante singular.

De hecho, cuando dices$X(f_1)$, lo que realmente quieres decir es$\int X(f) {\mathrm d}f$, en un pequeño rango de frecuencias, y en los detalles matemáticos y experimentales esto debe tenerse en cuenta. Hacer que todo sea preciso requiere que sepamos cuáles son los rangos de frecuencia de cada una de las mediciones, que un experimentador debe caracterizar o debe leer de las hojas de datos del fabricante. Con más detalle aún, tendremos que construir una función de peso, diciendo que las frecuencias cercanas a$f_1$todavía están registrados por el dispositivo de medición, pero no tanto como cerca$f_1$. Bien podemos tomar la función de peso, como primera aproximación, como gaussiana. Esto corresponde a tomar la función de prueba$F_1(x)$ser tan gaussiano. El análisis de señales generalmente llama a la función de prueba una función de ventana . Puede ser difícil familiarizarse con las funciones de prueba o ventana, pero creo que vale la pena llegar allí.

En estos términos, su$C_{xyz}$es una elección particular de función de 3 puntos (normalizada). La elección de$f_1+f_2$para la tercera frecuencia, por supuesto, no es necesaria, podemos considerar correlaciones de 3 puntos entre tres frecuencias cualesquiera$f_1,f_2,f_3$(y sus alrededores). En la teoría cuántica de campos, representaríamos la función de correlación de 3 puntos, en el estado de vacío, como$\left<0\right|\phi(F_1)\phi(F_2)\phi(F_3)\left|0\right>$. Reemplace el vector de vacío por algún otro vector de estado, si lo desea.

En el caso particular en que los observables de campo cuántico son mutuamente conmutativos, se puede entender que generan medidas de probabilidad que corresponden a una descripción equivalente en términos de medidas de probabilidad sobre variables aleatorias clásicas y, por lo tanto, con bastante precisión a un análisis de señal estocástica. Cuando los observables de campo cuántico no conmutan, todo se vuelve mucho más complicado, pero se puede mantener un remanente del punto de vista del procesamiento de señales.

Hay una matemática de campos aleatorios que se usa en cosmología porque generalmente no es necesario preocuparse por la incompatibilidad de medición en ese contexto. Los matemáticos generalmente presentan el análisis de señales en términos de espacio de Hilbert a menos que estén escribiendo para una audiencia de ingeniería.

Mis conjeturas son:

1. Se necesitan muchos más datos para producir un biespectro de bajo ruido que un espectro de potencia (?).
2. Los resultados son confusos de interpretar (o al menos desconocidos). Parte de esto se debe a la gran cantidad de redundancia en la salida.
3. La gran cantidad de datos en el biespectro puede ser enorme. ¡Un biespectro con la misma resolución de frecuencia que un espectro de potencia requiere el cuadrado de la cantidad de memoria!
4. Cualquier buen reloj parecerá ser biespectralmente coherente. Los transitorios también crean una bicoherencia espuria.