Magnitud de la transformada de Fourier del ruido blanco

Se puede hacer analíticamente, pero los resultados numéricos dependen de las convenciones que use para definir la transformada de Fourier.

Tienes$\eta(t)$una variable aleatoria. Supongo que te refieres al ruido correlacionado de corto alcance, por lo que$\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = \sigma^2 \delta(t-t')$($\langle . \rangle$indica un promedio de conjunto).

La amplitud espectral es una variable aleatoria de valor complejo

que tiene un primer momento

Si no es cero, puede restarlo de los datos de ruido; así que a partir de aquí asumiré datos de ruido medio cero.

Ahora, el segundo momento de estos datos está dado por

Hay algunos conceptos en esta derivación:

• Tenga en cuenta el intercambio en orden entre hacer las integrales y hacer el promedio del conjunto; esto casi siempre está matemáticamente justificado.
• La ecuación del segundo momento proviene de escribir explícitamente$\lvert z(\omega) \rvert^2=z(\omega) z^*(\omega)$, y luego simplificando usando el$\delta$estructura de correlación funcional del ruido.
• Como integral indefinida formal, la expresión final no está completamente definida; Tiendo a interpretar como la integral de$[-L/2,L/2]$para algunos arbitrariamente grandes, pero finitos$L$.

Los resultados clave son que la intensidad esperada del espectro de potencia: 1. es linealmente proporcional a la varianza del ruido, y 2. crece linealmente con el tiempo de integración.

En segundo lugar, dependiendo de dónde pongas el factor de$2 \pi$involucrada en la transformada de Fourier, es posible que deba tenerla en cuenta en su espectro de ruido.

Para datos muestreados discretamente, se aplica esencialmente la misma lógica, pero con las integrales reemplazadas por sumas discretas. La clave en este caso es saber cómo/dónde su biblioteca FFT aplica factores de$1/N$; cuando hago este tipo de cosas, a menudo verifico explícitamente lo que está sucediendo inyectando ruido gaussiano simulado de media cero y varianza unitaria en la cadena de procesamiento espectral solo para verificar lo que sale. Una vez que conoce la respuesta al ruido de varianza unitaria, escala ese resultado por la varianza de ruido observada.

La respuesta depende de si tiene una señal discreta o continua y si tiene ruido blanco o no:

1) señal continua (es decir, f(t)) y ruido blanco

• No, no hay una relación analítica. Esto se debe a que las varianzas/desviaciones estándar A1 y A2 son infinitas

2) señal discreta (muestreada con frecuencia de muestreo$f_s$) y ruido blanco

• La densidad espectral del ruido (unilateral) es$S_{xx} = 2 A_{1}^2 / f_s$con$A_1$la desviación estándar del ruido

3) ruido no blanco (con ancho de banda efectivo$B$):

• La densidad espectral del ruido (unilateral) es$S_{xx} = A_{1}^2 / B$con$A_1$la desviación estándar del ruido

Aquí se asume la convención de ingeniería, que la frecuencia no es angular y la densidad espectral del ruido es unilateral. Esto es lo que emiten los instrumentos del analizador de espectro. Los teóricos (también en ingeniería) suelen utilizar la convención de dos caras, que simplemente omite el factor de dos anterior.

La respuesta es muy simple. Si la amplitud del ruido se multiplica por un factor de D, entonces la transformada de Fourier debe multiplicarse por el mismo factor. (Las diferentes convenciones no hacen ninguna diferencia ya que obviamente vas a usar las mismas convenciones para cada señal).

Pero supongo que te refieres al espectro de potencia, no a la transformada de Fourier, ya que eso es lo que miden los analizadores espectrales y así es como se ve tu gráfico. Si la amplitud del ruido se multiplica por un factor de D, su potencia se multiplica por$D^2$, que le da la relación buscada. Tenga en cuenta que en este caso, la varianza del ruido aumentaría en$D^2$, entonces, como dice @Dave, la potencia aumenta linealmente con la varianza, como dije.

Las preocupaciones sobre la varianza infinita son irrelevantes ya que el ruido blanco es una idealización, en realidad probablemente tenga algún tipo de ruido rosa suavizado y los gráficos de su analizador son claramente finitos. Y en teoría matemática, aún distinguimos entre la función Delta de Dirac$\delta$y sus múltiplos,$D\delta$, de todos modos, por lo que la relación analítica también es válida para el infinito.