Uso de la dinámica de sistemas abiertos para definir un estado cuántico

Question

Uso de la dinámica de sistemas abiertos para definir un estado cuántico

Física
gravedad cuántica
operador de densidad
mecánica cuántica
información cuántica
sistemas-cuánticos-abiertos

TLDR

Fondo

La matriz de densidad de un sistema cuántico cerrado con espacio de Hilbert $\mathscr H$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de von Neumann

\begin{aligned} i ℏ \dot{ρ} = [H, ρ] . \end{aligned}

$\begin{align*} i\hbar\dot\rho=[H,\rho]. \end{align*}$ Dada una solución

ρ (t)

$\rho(t)$ a la ecuación anterior, la evolución temporal de las matrices de densidad asociadas con los subsistemas se puede obtener tomando la traza de

ρ

$\rho$ . Específicamente, si

S

$S$ es un subsistema (con complemento

S^{C}

$S^C$ , que se puede considerar como el 'bulto' del sistema completo) entonces

ρ_{S} (t) = {tr}_{S^{C}} (ρ (t))

$\rho_S(t)=\text{tr}_{S^C} (\rho(t))$ .

Bajo supuestos razonables, la dinámica a largo plazo de $\rho_S(t)$ normalmente implica el equilibrio a un estado térmico. Sin embargo, los efectos de la memoria son evidentes en tiempos intermedios, que pueden considerarse como ecos del estado inicial de $\rho_S$ que reflejan el estado del bulto. Usando esencialmente una especie de teoría de dispersión, debería ser posible usar la dinámica de múltiples instancias de $\rho_S(t)$ para caracterizar el estado del bulto.

Pregunta

Más fundamentalmente, estoy interesado en la medida en que el estado completo $\rho$ junto con el generador de evolución temporal $H$ puede inferirse de una única instancia genérica de $\rho_S(t)$ . La versión más básica de la pregunta es esta: dada una trayectoria físicamente válida de una matriz de densidad $\rho_S(t)$ , cuál es la solución 'más simple' $(\mathscr H, \rho(t),H)$ a la ecuación de von Neumann que induce la dinámica de $\rho_S(t)$ ?

Por ejemplo, si observara la dinámica de una sola partícula clásica de un conjunto de esferas duras, teóricamente podría enumerar las posibles trayectorias de muchas partículas que inducirían la dinámica de la única partícula que realmente puede ver. Por supuesto, siempre puede agregar partículas auxiliares que nunca produzcan un efecto observable, por lo que estamos interesados en conjuntos auxiliares 'simples' o irreducibles.

[Puede pensar en el problema como 'invertir' la ecuación maestra cuántica hipotética que $\rho_S(t)$ satisface Un desafío es que la dimensión del espacio de Hilbert que contiene la solución $\rho(t)$ al problema inverso debe deducirse de $\rho_S(t)$ también.]

Preguntas extra:

1) ¿Es posible expresar soluciones candidatas? $(\mathscr H, \rho(t),H)$ como funcionales de $\rho_S(t')$ para $t'\leq t$ ?

2) ¿Cuánta regularidad de $\rho_S(t)$ es necesario para asegurar que un candidato $(\mathscr H , \rho(t),H)$ válido hasta el momento $\tau$ predecir correctamente el comportamiento de $\rho_S(t')$ para $t'>\tau$ ?

La razón por la que hago esta pregunta es que parece un marco tentativo de fuerza bruta para cuantificar cualquier sistema basado solo en la dinámica de los operadores locales.

Progreso

Ok, aquí está el enfoque del 'físico'. La idea aquí es encontrar una forma de construir momentos de la matriz de densidad completa (y el hamiltoniano asociado) como un funcional de $\rho_S(t)$ . Las ecuaciones a resolver son $\rho_S(t)=\text{tr}_{S^C}(\rho(t))$ y $i\hbar\dot\rho(t)=[H,\rho(t)]$ , para algunos adecuados $\rho$ y $H$ e identificación de $S$ , donde se nos da $\rho_S(t)$ . Por lo tanto, podemos introducir funciones delta formales

d^{\infty} (ρ_{S} (t) - {tr}_{S^{C}} (ρ (t))), d^{\infty} (i ℏ \dot{ρ} - [H, ρ])

$\delta^\infty(\rho_S(t)-\text{tr}_{S^C}(\rho(t))),\quad \delta^\infty(i\hbar\dot\rho-[H,\rho])$ y pesos

Exp (- β F [H]), Exp (- β GRAMO [H])

$\exp(-\beta F[H]),\quad \exp(-\beta G[\mathscr H])$ que sancionan al candidato

H

$\mathscr H$ ,

H

$H$ pares que son demasiado 'grandes' o 'artificiales' en cierto sentido. en el límite como

β \to \infty

$\beta\rightarrow \infty$ , parece razonable que haya una manera de enmarcar el problema de tal manera que una única elección óptima de

H

$H$ y

H

$\mathscr H$ existe

Luego podemos realizar promedios formales sobre soluciones a través de

\begin{aligned} ⟨ O [ρ] ⟩ = \frac{1}{Z} \int D H {D ρ (t) D H [ & Exp [- β F [H] - β GRAMO [H]] \times \dots \\ d^{\infty} (ρ_{S} - {tr}_{S^{C}} ρ) d^{\infty} (i ℏ \dot{ρ} - [H, ρ]) O [ρ]]} \end{aligned}

$\begin{align*} \langle\mathcal O[\rho]\rangle=\frac{1}{Z}\int\mathscr D \mathscr H \Bigg\{\mathscr D\rho(t)\mathscr DH\bigg[&\exp[-\beta F[H]-\beta G[\mathscr H]]\times\dots\\&\delta^\infty(\rho_S-\text{tr}_{S^C}\rho)\delta^\infty(i\hbar\dot\rho-[H,\rho])\mathcal O[\rho]\bigg]\Bigg\} \end{align*}$ dónde

Z

$Z$ es la función de partición asociada. Implícitamente, también tenemos las restricciones

ρ = ρ^{†}

$\rho=\rho^\dagger$ ,

tr (ρ) = 1

$\text{tr}(\rho)=1$ , y eso

ρ

$\rho$ debe ser no negativo.

para dar sentido a $\text{tr}_{S^C}(\rho)$ necesitamos alguna forma estándar de identificar el subsistema $S$ en $\mathscr H$ . Esto podría hacerse, por ejemplo, sumando solo sobre espacios de Hilbert obtenidos al sumar secuencialmente nuevos grados de libertad a $\mathscr H_S$ (y sumando las 'cardinalidades' de los nuevos grados de libertad). Una vez hecho esto, podemos usar una versión formal de la representación de Fourier de la función delta para hacer que el integrando se parezca más a una integral de trayectoria. Esto implica introducir una gran cantidad de campos auxiliares, dependiendo del tamaño del subsistema y del tamaño del 'ambiente space' $\mathscr H$ . Cuando $\rho_S(t)$ es de dimensión finita y tiene una transformada de Fourier discreta finita, esperamos $\mathscr H$ ser de dimensión finita.

XXDD

Esta pregunta me recuerda el trabajo de Nielsen sobre la complejidad computacional cuántica, donde mencionó la pregunta: ¿La adición del sistema ancilla conducirá a un algoritmo más eficiente? Siguiendo su formulación sobre la variedad de Riemann, creo que su pregunta está relacionada con la curvatura de la variedad (al menos sobre qué tan confiable podemos predecir la evolución). Susskind asume en "Switchbacks and the Bridge to Nowhere" que una subvariedad del problema tiene una curvatura negativa constante, Nielsen asume que lo más probable es que la curvatura sea negativa. Así que la predicación es difícil.

XXDD

Su pregunta 'dada una trayectoria físicamente válida de una matriz de densidad ρS(t)ρS(t), ¿cuál es la solución 'más simple' (H,ρ(t),H)(H,ρ(t),H) a la La ecuación de von Neumann que induce la dinámica de ρS(t)ρS(t)' es similar a la pregunta de Nielsen sobre el algoritmo cuántico más eficiente. Pero solo se refiere a la condición de contorno (estado inicial y final del subsistema), establece más restricciones en la trayectoria completa.

XXDD

Si su hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces el sistema evoluciona como una mentira exponencial, si depende del tiempo, entonces la trayectoria de evolución más eficiente es una geodésica en la variedad de Riemann dependiendo de la métrica. Consulte el artículo de Nielsen 'La geometría de la computación cuántica' arXiv:quant-ph/0701004v1

XXDD

El cálculo como problema de optimización es muy muy difícil, al menos numéricamente. Nielsen solo tuvo éxito en 3 qubits, usé el método de disparo geodésico, apenas puede funcionar en el caso de 4 qubits (me toma 2 días encontrar una geodésica en mi PC). Por supuesto, si trabaja con hamiltoniano constante, podría ser más fácil, pero entonces la trayectoria puede no ser "óptima". Además, considerando la curvatura negativa, la estrategia de optimización finalmente no funcionará.

XXDD

Es complicado definir 'cuál es la solución 'más simple'. Si la trayectoria de

ρ_{s} (t)

$\rho_s(t)$ es fijo, entonces

ρ (t)

$\rho(t)$ es sólo un ascensor de la curva

ρ_{s} (t)

$\rho_s(t)$ , entonces la solución 'más simple' se puede definir como la curva elevada

ρ (t)

$\rho(t)$ con la longitud mínima dependiendo de la métrica en el espacio extendido.

RC Drost

Probablemente ya haya descubierto esto, pero esta pregunta fue respondida por el usuario de la comunidad: esta pregunta tiene mucha presencia en la literatura, donde la jerga que puede buscar es "purificación cuántica" como la forma más agradable de tomar para

ρ

$\rho$ es la de un estado puro.

TLDR

La purificación cuántica proporciona un estado que induce

ρ

$\rho$ en un momento dado de tiempo, pero que yo sepa, tampoco proporciona un hamiltoniano.

roger vadim

En términos de física estadística, la cuestión es reproducir la dinámica del baño a partir de la de un subsistema. Ahora se podría pasar a la estadística. mecánico libros y extraiga las fórmulas para la probabilidad de un estado de baño específico dado el estado del sistema. Otra dirección a mirar es la producción de entropía de Prigogine . Sin embargo, falta una cosa en la forma en que se formula la pregunta en el OP: además de rastrear, generalmente se toma un límite termodinámico para obtener la dinámica irreversible; de lo contrario, nos enfrentamos a un comportamiento de colapso y reactivación .

Respuestas (1)

Uso de la dinámica de sistemas abiertos para definir un estado cuántico

Esta pregunta me recuerda el trabajo de Nielsen sobre la complejidad computacional cuántica, donde mencionó la pregunta: ¿La adición del sistema ancilla conducirá a un algoritmo más eficiente? Siguiendo su formulación sobre la variedad de Riemann, creo que su pregunta está relacionada con la curvatura de la variedad (al menos sobre qué tan confiable podemos predecir la evolución). Susskind asume en "Switchbacks and the Bridge to Nowhere" que una subvariedad del problema tiene una curvatura negativa constante, Nielsen asume que lo más probable es que la curvatura sea negativa. Así que la predicación es difícil.
Su pregunta 'dada una trayectoria físicamente válida de una matriz de densidad ρS(t)ρS(t), ¿cuál es la solución 'más simple' (H,ρ(t),H)(H,ρ(t),H) a la La ecuación de von Neumann que induce la dinámica de ρS(t)ρS(t)' es similar a la pregunta de Nielsen sobre el algoritmo cuántico más eficiente. Pero solo se refiere a la condición de contorno (estado inicial y final del subsistema), establece más restricciones en la trayectoria completa.
Si su hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces el sistema evoluciona como una mentira exponencial, si depende del tiempo, entonces la trayectoria de evolución más eficiente es una geodésica en la variedad de Riemann dependiendo de la métrica. Consulte el artículo de Nielsen 'La geometría de la computación cuántica' arXiv:quant-ph/0701004v1
El cálculo como problema de optimización es muy muy difícil, al menos numéricamente. Nielsen solo tuvo éxito en 3 qubits, usé el método de disparo geodésico, apenas puede funcionar en el caso de 4 qubits (me toma 2 días encontrar una geodésica en mi PC). Por supuesto, si trabaja con hamiltoniano constante, podría ser más fácil, pero entonces la trayectoria puede no ser "óptima". Además, considerando la curvatura negativa, la estrategia de optimización finalmente no funcionará.
Es complicado definir 'cuál es la solución 'más simple'. Si la trayectoria de $\rho_s(t)$ es fijo, entonces $\rho(t)$ es sólo un ascensor de la curva $\rho_s(t)$ , entonces la solución 'más simple' se puede definir como la curva elevada $\rho(t)$ con la longitud mínima dependiendo de la métrica en el espacio extendido.
Probablemente ya haya descubierto esto, pero esta pregunta fue respondida por el usuario de la comunidad: esta pregunta tiene mucha presencia en la literatura, donde la jerga que puede buscar es "purificación cuántica" como la forma más agradable de tomar para $\rho$ es la de un estado puro.
La purificación cuántica proporciona un estado que induce $\rho$ en un momento dado de tiempo, pero que yo sepa, tampoco proporciona un hamiltoniano.
En términos de física estadística, la cuestión es reproducir la dinámica del baño a partir de la de un subsistema. Ahora se podría pasar a la estadística. mecánico libros y extraiga las fórmulas para la probabilidad de un estado de baño específico dado el estado del sistema. Otra dirección a mirar es la producción de entropía de Prigogine . Sin embargo, falta una cosa en la forma en que se formula la pregunta en el OP: además de rastrear, generalmente se toma un límite termodinámico para obtener la dinámica irreversible; de lo contrario, nos enfrentamos a un comportamiento de colapso y reactivación .

Urgje · Answer 1

La situación que mencionas tiene una larga historia, así que empiezas con

\begin{matrix} ((1)) & \partial_{t} ρ = - i [H, ρ] = - i L ρ \Rightarrow ρ (t) = Exp [- i L t] ρ (0) \end{matrix}

$\begin{equation} \partial _{t}\rho =-i[H,\rho ]=-iL\rho \Rightarrow \rho (t)=\exp [-iLt]\rho (0) \tag{(1)} \end{equation}$ dónde

L

$L$ es el operador de Liouville y

ρ

$\rho$ es un operatot de clase traza no negativo, es decir, un elemento de

B_{1}

$\mathcal{B}_{1}$ , con norma de traza unitaria

∥ ρ ∥_{1} = t r ρ = 1

$\begin{equation*} \parallel \rho \parallel _{1}=\mathrm{tr}\rho =1 \end{equation*}$ El rastro parcial que conduce a

ρ_{S} (t)

$\rho _{S}(t)$ se puede formular como la acción de un operador de proyección

ρ_{S} (t) = PAG ρ (t)

$\begin{equation*} \rho _{S}(t)=P\rho (t) \end{equation*}$ Entonces, con

Q = 1 - P

$Q=1-P$ , obtenemos

\begin{array}{rcl} \partial_{t} PAG ρ (t 0 & = & - i PAG L PAG ρ (t) - i PAG L q ρ (t) \\ \partial_{t} q ρ (t 0 & = & - i q L q ρ (t) - i q L PAG ρ (t) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \partial _{t}P\rho (t0 &=&-iPLP\rho (t)-iPLQ\rho (t) \\ \partial _{t}Q\rho (t0 &=&-iQLQ\rho (t)-iQLP\rho (t) \end{eqnarray*}$ a partir del cual

q ρ (t) = Exp [- i q L q t] q ρ (0) - i \int_{0}^{t} d s Exp [- i q L q (t - s] q L PAG ρ (s)

$\begin{equation*} Q\rho (t)=\exp [-iQLQt]Q\rho (0)-i\int_{0}^{t}ds\exp [-iQLQ(t-s]QLP\rho (s) \end{equation*}$ La sustitución en el primero da una ecuación cerrada para

P ρ (t)

$P\rho (t)$

\partial_{t} PAG ρ (t) = - i PAG L PAG ρ (t) - i PAG L q Exp [- i q L q t] q ρ (0) - \int_{0}^{t} d s PAG L q Exp [- i q L q (t - s] q L PAG ρ (s)

$\begin{equation*} \partial _{t}P\rho (t)=-iPLP\rho (t)-iPLQ\exp [-iQLQt]Q\rho (0)-\int_{0}^{t}dsPLQ\exp [-iQLQ(t-s]QLP\rho (s) \end{equation*}$ Todo esto es algo bastante estándar. La ecuación resultante para

P ρ (t)

$P\rho (t)$ se conoce como la ecuación maestra generalizada en mecánica estadística. En ese campo el término inicial

PAG L q Exp [- i q L q t] q ρ (0)

$\begin{equation*} PLQ\exp [-iQLQt]Q\rho (0) \end{equation*}$ por lo general muere por grandes

t

$t$ en el límite termodinámico. En otros casos simplemente

Q ρ (0) = 0

$Q\rho (0)=0$ . Así que concentrémonos en

\begin{matrix} ((2)) & \partial_{t} PAG ρ (t) = - i PAG L PAG ρ (t) - \int_{0}^{t} d s PAG L q Exp [- i q L q (t - s] q L PAG ρ (s) \end{matrix}

$\begin{equation} \partial _{t}P\rho (t)=-iPLP\rho (t)-\int_{0}^{t}dsPLQ\exp [-iQLQ(t-s]QLP\rho (s) \tag{(2)} \end{equation}$ Vemos que ha aparecido un término de convolución temporal que es un remanente de la parte que se proyecta. Tenga en cuenta que (1) sigue siendo exacto. Es posible

(ver http://www.physicsoverflow.org/17968/how-to-handle-nonmarkovian-dynamics-in-open-quantum-system .) para recuperar una ecuación sin término de convolución introduciendo una variable adicional, digamos $\sigma (t)$ . Entonces

(\begin{matrix} ρ (t) \\ σ (t) \end{matrix})

$\begin{equation*} \left( \begin{array}{c} \rho (t) \\ \sigma (t) \end{array} \right) \end{equation*}$ obedece a una ecuación similar a (1) pero

σ (t)

$\sigma (t)$ no es igual a

Q ρ (t)

$Q\rho (t)$ , pero actúa en un subespacio de

B_{1}

$\mathcal{B}_{1}$ .

Por lo tanto, uno no recupera el movimiento original completo de esta manera, pero (2) es una ecuación exacta para $P\rho (t)$ .

Gracias por su respuesta. Estoy familiarizado con la ecuación maestra cuántica para un sistema cuántico abierto, que proporciona una ecuación de movimiento cerrada para el subsistema con "datos iniciales" adicionales proporcionados por $Q\rho(0)$ . Sin embargo, no estoy seguro de que esto aborde la pregunta que esperaba resolver. El objetivo es recuperar $\rho(t)$ de $P\rho(t)=\rho_S(t)$ . En particular, esto requiere 'adivinar' cómo el espacio de Hilbert de $\rho_S(t)$ debe aumentarse para que $\rho_S(t)$ A igual $P\rho(t)$ para algunos $\rho$ que satisface la ecuación de von Neumann (para un tiempo independiente $H$ ).

Uso de la dinámica de sistemas abiertos para definir un estado cuántico

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Fondo

Pregunta

Progreso

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RC Drost

TLDR

roger vadim

Respuestas (1)

Urgje

TLDR

Positividad completa: ¿por qué la condición es suficiente para los mapas cuánticos?

¿Cómo sabemos que, si solo evoluciona ρAρA\rho_A, entonces la evolución de ρABρAB\rho_{AB} viene dada por (LA⊗1)(ρAB)(LA⊗1)(ρAB)(\mathcal{L}_A \ a veces 1)(\rho_{AB})?

El estado de mezcla máxima está en el centro de todos los estados cuánticos.

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¿Cuándo puede un estado de la forma ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|\rho=\sum_i p_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert ser un estado puro?

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