Segunda Ley de Kepler: ¿Por qué calculamos el área de un triángulo en lugar del área de un sector?

La Segunda Ley de Kepler establece que se barren áreas iguales en tiempos iguales.

Hasta ahora, todo bien.

Al calcular esta área, ¿por qué usamos la fórmula para el área de un triángulo en lugar del área de un sector?

nosotros no Usamos el área del sector y podemos usar la suma de pequeños triángulos para aproximarnos.

La matemática básica aquí es que:

$$dA = \frac 1 2 r^2d\theta$$

para algún área infinitesimal (cálculo básico).

En esta expresión la$r$es la altura de un triangulo, la$rd\theta$es la longitud del arco barrido y estamos usando la conocida fórmula para el área de un triángulo (la mitad de la base por la altura perpendicular).

La segunda ley de Kepler se puede expresar así:

$$\int_{t_1}^{t_1+t_0}dA = \int_{t_2}^{t_2+t_0}dA$$

Ahora, para encontrar esos valores de las páginas de datos, usará una aproximación de algún tipo y la que usará es una suma de Riemann .

En la suma de Riemann, la integral se puede aproximar sumando pequeños productos:

$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{k}f(x_k)(x_k-x_{k-1})$$

Asumiendo que nuestros números pueden ser lo suficientemente precisos y usamos valores pequeños para el$x_k-x_{k-1}$intervalos, esto será tan preciso como queramos.

En el caso de Kepler, su trabajo es anterior al cálculo, por lo que no habría tenido conocimiento de las matemáticas formales, pero habría utilizado la aproximación para sus datos (que era relativamente inexacto según los estándares modernos y solo tenía conjuntos discretos de puntos, no un conjunto continuo). fórmula). Kepler tuvo que usar una aproximación triangular, pero la estaba usando con los intervalos más pequeños que pudo. Kepler ni siquiera era consciente de la forma de las órbitas cuando estaba trabajando.