¿Puede una porción muy pequeña de una elipse ser una parábola?

Podemos demostrar que cuando una partícula se proyecta desde cierta altura (desde la superficie de la Tierra) con una velocidad menor que la velocidad orbital y en una dirección tangencial a la superficie de la Tierra en ese punto, sigue una trayectoria elíptica con el centro de la Tierra como foco. El proceso de obtención de este resultado no implica poner ningún límite inferior a la velocidad de proyección. Ciertamente, si la velocidad de proyección es lo suficientemente pequeña, entonces la trayectoria en realidad intersecaría la Tierra, pero podemos considerar que la sección de la trayectoria hasta que realmente golpea la Tierra es elíptica. Sin embargo, cuando consideramos explícitamente solo aquellas situaciones en las que la trayectoria del proyectil interseca la Tierra, a través de aproximaciones [1], podemos demostrar que si la altura es suficientemente menor (que el radio de la Tierra), la trayectoria será en realidad una parábola. En ninguno de los dos cálculos hemos supuesto que la tierra es un punto o una superficie plana. Entonces, ¿es cierto que una porción muy pequeña de una elipse es una parábola incluso si ambas son cónicas completamente diferentes por definición?

[1]: A través de "aproximaciones", me refiero a tratar un campo gravitacional aproximado y resolver la trayectoria nuevamente en lugar de incorporar la aproximación a la trayectoria original ya evaluada. Por supuesto, daría la misma respuesta (como debería), pero sin saber cómo Taylor expande una curva, cuando publiqué la pregunta, vi en este resultado una paradoja de cómo dos cónicas diferentes podrían ser iguales en algunos régimen.

Podrías ver una parábola como una elipse con una excentricidad infinita. De sus secciones cónicas puede ver que el aumento de elipticidad es lo que sucede cuando eleva el ángulo de inclinación del plano de intersección. Pero aumenta como la tangente del ángulo, que asintóticamente se vuelve infinita cuando el ángulo se vuelve igual al del cono. Y en el "fondo" de la parábola es donde la diferencia con la elipse es más pequeña, incluso infinitesimal. Así que, realmente, diría que depende de tu definición...
En realidad, las elipses y las parábolas están muy interrelacionadas. También lo son las otras cónicas. Básicamente, si empiezas con un círculo y sigues alargándolo y aumentando su excentricidad, obtendrás una elipse, luego una parábola, una hipérbola y finalmente un par de líneas. :)
Un análisis completo aquí: arxiv.org/pdf/physics/0310049.pdf con otras observaciones interesantes.

Respuestas (1)

Una pequeña parte de cualquier curva suave tiene el mismo aspecto que una pequeña parte de una parábola en el límite. Elija un sistema de coordenadas para que la dirección tangencial en el medio del segmento sea a lo largo del X eje y elija una traslación para que la mitad del segmento se asiente en ( 0 , 0 , 0 ) , el origen de las coordenadas. Entonces y , z en la curva (elipse, etc.) pueden verse como funciones de X y estas funciones y ( X ) , z ( X ) puede ser Taylor-expandido. El primer término no trivial es

y ( X ) = a 2 y X 2 + O ( X 3 )
porque los términos absolutos y lineales se hicieron desaparecer por la elección de las coordenadas. Pero descuidando la X 3 y otras piezas, esto es solo una ecuación para una parábola.

(Un comentario similar se aplicaría a z ( X ) y uno podría rotar las coordenadas en el y z avión para que a 2 z es igual a cero.)

Entonces, una "parte supercorta" de una curva es siempre una línea recta. Con una mejor aproximación, una pieza "muy corta" es una parábola, y se pueden refinar las fórmulas aceptablemente precisas mediante aproximaciones cada vez mejores, sumando una potencia tras otra.

Pero cerca del perigeo (la aproximación más cercana a la fuente del campo gravitatorio), en realidad podemos describir un procedimiento límite para el cual la elipse "total", y no solo una parte infinitesimal, se convierte en una parábola. A medida que la velocidad máxima del satélite (la velocidad en el perigeo, etc.) se acerca a la velocidad de escape, mientras que el lugar del perigeo se mantiene en el mismo punto, la órbita elíptica se acerca a una trayectoria parabólica: la totalidad. Tenga en cuenta que en este procedimiento de limitación, el punto más alejado del centro de gravedad va a una distancia infinita y la excentricidad también diverge.

Entonces la parábola es un límite de una clase de elipses. De la misma manera, una parábola es también un caso límite de hipérbola. De hecho, en el espacio de las cónicas, una parábola es siempre el punto de cruce "muy raro, de medida cero" de una elipse a una hipérbola. Esto no debería ser impactante. Solo considera una ecuación en el plano 2D

y − X 2 − C = a y 2
que es una función de a . para un positivo a , obtienes una elipse; por un negativo a , obtienes una hipérbola. El caso intermedio, especial es a = 0 que es una parábola. También se pueden parametrizar estas curvas como secciones cónicas. El tipo de curva que obtengamos dependerá del ángulo de inclinación del plano con respecto al cono; la parábola es nuevamente la transición de elipses en ángulo bajo a hipérbolas en ángulo alto.

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