Sección transversal en el límite relativista: ¿la regla de oro de Fermi sigue siendo válida?

La regla de oro de Fermi todavía se aplica en el límite relativista y se puede reescribir en una forma invariante de Lorentz. Comenzando con la probabilidad de transición

$$W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} |m_{if}|^2 \rho(E) \,,$$ tener $W$Invariante de Lorentz, nos gustaría tanto el elemento de matriz $|m_{if}|^2$y la densidad de estados finales $\rho(E)$ser invariante.

Esto se puede hacer cambiando algunos términos. Un poco de movimiento manual para motivarlo: la función de onda$\psi$(que está en el elemento de la matriz) tiene que ser normalizado por$\int |\psi|^2 dV = 1$, lo que nos da una densidad (de probabilidad de encontrar una partícula) de$1/V$. Ahora, un observador impulsado experimenta una contracción de longitud de$1/\gamma$, que cambia la densidad a$\gamma/V$. Para obtener la probabilidad correcta nuevamente, debemos volver a normalizar la función de onda para$\psi' = \sqrt{\gamma}\,\psi$sacando el factor de Lorentz.

Entonces introducimos un nuevo elemento de matriz.

$$|{\cal M}_{if}|^2 = |m_{if}|^2 \prod_{i=1}^n (2 \gamma_i m_i c^2) =|m_{if}|^2 \prod_{i=1}^n (2E_i)^2$$ (esto es para un $n$-proceso corporal). Ahora la probabilidad de transición (aquí en forma diferencial) se convierte en:

$$dW = \frac{2\pi}{\hbar} \frac{|{\cal M}_{if}|^2}{ (2E_1)^2 (2E_2)^2 \cdots} \cdot \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3n}} \, d^3p_1 \, d^3p_2 \, \cdots \delta({p_1}^\mu + {p_2}^\mu + \ldots - {p}^\mu )$$ La función delta está ahí para asegurar la conservación del impulso y la energía. Ahora podemos reagrupar los términos: $$\Rightarrow \quad dW = \frac{2\pi}{\hbar} \frac{|{\cal M}_{if}|^2}{ 2E_1 2E_2 \cdot \ldots} \cdot d_\mathrm{LIPS}$$ La densidad de estados/"espacio de fase" $d\rho$se reemplaza por una versión relativista, a veces llamada espacio de fase invariante de Lorentz $d_\mathrm{LIPS}$, que está dada por $$d_\mathrm{LIPS} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3n}} \prod_{i=1}^n \frac{d^3p_i}{ 2E_i } \delta\left(\prod_{i=1}^n {p_i}^\mu - {p}^\mu \right) \,.$$ Lo bueno de la fórmula relativista para $dW$es que, en el caso de que esté dispersando partículas entre sí, inmediatamente nos muestra tres contribuciones importantes: no solo el elemento de matriz y el espacio de fase, sino también el factor de flujo $1/s$(dónde $s = ({p_1}^\mu + {p_2}^\mu)^2$es la variable de Mandelstam, y en caso de que las masas sean despreciables, $s \approx 2 E$). Este factor de flujo es responsable de la $1/Q^2$pendiente descendente cuando traza la sección transversal sobre la transferencia de impulso $Q = \sqrt{s}$, que proviene enteramente de la cinemática relativista.

Espero que esto responda a tus preguntas. Aquí hay una presentación (PDF) que lo resume, con una prueba explícita de que es invariante de Lorentz.