Definición de intervalo de espacio-tiempo

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Definición de intervalo de espacio-tiempo

secuencia

Sabemos que un vector de espacio-tiempo $x:= (\vec{x}, ct)$ , dónde $c$ es la velocidad de la luz. ¿Por qué el intervalo $I$ en el espacio-tiempo definido como

I = - (Δ t)^{2} + \frac{1}{C^{2}} [(Δ X)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}] ?

$I=-(\Delta t)^2 + \frac{1}{c^2}\left[ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 \right] ?$

Más concretamente,

(1) ¿Por qué es $I$ definido en términos de componentes al cuadrado (sin la raíz cuadrada)? Si fuera $I^2$ entonces sería más claro.

(2) ¿Por qué la división por $c^2$ suceder en $I$ ? Qué es $c^2 I$ ¿entonces?

Apreciaría algunas ideas.

Rudyard

(1) llamándolo

I

$I$ o

I^{2}

$I^2$ , es sólo una cuestión de definición. Supongo que lo definí como

I^{2}

$I^2$ . Entonces podría dejar

I^{'} = I^{2}

$I'=I^2$ . Tal vez sea conveniente de esa manera en cualquier nota que estés leyendo. (2) división por

c^{2}

$c^2$ está ahí para tener sentido dimensional. No puede agregar una duración a un período de tiempo (tienen unidades diferentes), por lo que debe multiplicar el tiempo por

c^{2}

$c^2$ o dividir las longitudes por

c^{2}

$c^2$ para obtener las mismas unidades.

alfa001

También mire: en.wikipedia.org/wiki/… Debería aclarar todas sus preguntas.

secuencia

@Rudyard, pero estamos caminando sobre la distancia al cuadrado, no solo sobre la distancia, ¿verdad?

Rudyard

Sí, la forma en que has escrito la fórmula

I

$I$ tiene unidades de tiempo al cuadrado.

Javier

@Rudyard, deberías publicar tu comentario como respuesta.

dmckee --- gatito ex-moderador

La mayoría de los tratamientos no le dan al intervalo su propio símbolo. Solo se quedan con llamarlo

(Δ s)^{2}

$(\Delta s)^2$ o algo similar. Además, no es que algunas golosinas tengan un intervalo

c^{2}

$c^2$ veces lo que tienes (la coordenada similar al tiempo es

c t

$ct$ no como el espacio como

x / c

$x/c$ ) o tener el signo inverso o ambos. Las convenciones de signos y las convenciones de armonización de unidades para la relatividad varían ampliamente.

Respuestas (2)

Definición de intervalo de espacio-tiempo

(1) llamándolo $I$ o $I^2$ , es sólo una cuestión de definición. Supongo que lo definí como $I^2$ . Entonces podría dejar $I'=I^2$ . Tal vez sea conveniente de esa manera en cualquier nota que estés leyendo. (2) división por $c^2$ está ahí para tener sentido dimensional. No puede agregar una duración a un período de tiempo (tienen unidades diferentes), por lo que debe multiplicar el tiempo por $c^2$ o dividir las longitudes por $c^2$ para obtener las mismas unidades.
También mire: en.wikipedia.org/wiki/… Debería aclarar todas sus preguntas.
@Rudyard, pero estamos caminando sobre la distancia al cuadrado, no solo sobre la distancia, ¿verdad?
Sí, la forma en que has escrito la fórmula $I$ tiene unidades de tiempo al cuadrado.
La mayoría de los tratamientos no le dan al intervalo su propio símbolo. Solo se quedan con llamarlo $(\Delta s)^2$ o algo similar. Además, no es que algunas golosinas tengan un intervalo $c^2$ veces lo que tienes (la coordenada similar al tiempo es $ct$ no como el espacio como $x/c$ ) o tener el signo inverso o ambos. Las convenciones de signos y las convenciones de armonización de unidades para la relatividad varían ampliamente.

youpilat13 · Answer 1

He escrito la respuesta con la siguiente expresión en mente como la expresión del intervalo: $\Delta t^2 - \dfrac{1}{c^2}(\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)$ . En mi experiencia, esta es una forma de intervalo bastante común que la establecida por el OP. Cada vez que escribo algo como "el formulario que mencionaste", realmente significa referirme a la expresión mencionada anteriormente.

La cantidad indicada es un invariante de Lorentz. Esta cantidad, calculada para un par de eventos, permanece igual sin importar qué inerciael observador lo mide. Por lo tanto, es una buena idea pensar en esta cantidad como una propiedad del par de eventos en sí, más allá de su medición por parte de cualquier observador. Esta es la razón esencial para definir esta cantidad como el intervalo, un análogo de la distancia euclidiana en el espacio-tiempo minkowskiano. Pero, como ha señalado parcialmente, cualquier mapeo biyectivo de la cantidad indicada satisfaría todas las propiedades anteriores. Entonces, ¿por qué no definir cualquiera de ellos como el intervalo? Para resumirlo en una oración: no hay mucha física en elegir esta expresión en particular, pero es más bien una cuestión de convención. De hecho, también se aceptan como intervalo algunas variaciones de esta cantidad. El más famoso es el negativo de esta cantidad (hasta el factor de $c^2)$ . Aún así, los orígenes de todas las convenciones no son estúpidos y hay buenas explicaciones para las preguntas particulares que ha hecho:

(1) Se usa en forma cuadrática porque la cantidad puede ser tanto negativa como positiva. Por lo tanto, sacar la raíz cuadrada introduciría trabajo innecesario con cantidades imaginarias apareciendo por todas partes. Otra razón es que en la formulación Tensorial de la Relatividad Especial, que es crucial para su extensión a la Relatividad General, esta forma encuentra una expresión muy elegante y fácilmente manipulable. Tomar su raíz introduciría de nuevo complicaciones innecesarias en la representación tensorial.

(2) La expresión indicada es útil para encontrar el momento adecuado entre dos eventos similares al tiempo. Para dar dimensión temporal a esta cantidad, la división por $c^2$ está hecho. Cuando usa el negativo de la fórmula anterior, debe usarse para averiguar el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos similares al espacio. En ese caso, conviene darle dimensión espacial y así, en efecto, la $c^2$ se multiplica con $t^2$ en lugar de dividir $x^2+y^2+z^2$ por $c^2$ . Todo este lío se desecha en cualquier trabajo teórico serio al introducir las unidades naturales donde $c=1$ .

usuario140606 · Answer 2

Por que es $I$ definido en términos de componentes al cuadrado (sin la raíz cuadrada)? Si fuera $I^2$ entonces sería más claro.

Mira el teorema de Pitágoras,

a^{2} + b^{2} = C^{2},

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}},$

Como dice Rudyard, puedes considerar $I$ al cuadrado como una versión de 4 dimensiones (modificada) de la expresión de 3 dimensiones anterior.

¿Por qué la división por $c^2$ suceder en $I$ ? Qué es $c^2I$ ¿entonces?

La relatividad viene con el postulado de que no existe una tasa absoluta del paso del tiempo, por lo que uno puede escribir:

d s^{2} = C^{2} d τ^{2} - d X_{τ}^{2} - d y_{τ}^{2} - d z_{τ}^{2},

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}},$

d τ = \frac{d s}{C}

$d\tau ={\frac {ds}{c}}$

Esta es la forma en que la relatividad trata con el tiempo medido por el observador en movimiento, también conocido como tiempo propio. $\tau$ , análogo al tiempo = distancia/velocidad en la Tierra.

Si lee Wikipedia Proper Time o Hyperphysics, obtendrá una explicación más detallada y una derivación de las expresiones anteriores.

El punto que estoy tratando de hacer (muy mal, lo siento) que probablemente ya sepa es que hay dos símbolos para el tiempo, $t$ es el tiempo coordenado, el tiempo medido por un observador en la Tierra y $\tau$ que es el tiempo medido en la nave espacial de rápido movimiento, en relación con la Tierra.
(1) Debe eliminar la igualdad del medio en su tercera ecuación, por lo que finalmente $\:\mathrm{d}\tau =\dfrac {\mathrm{d} s}{c}$ . (2) tenemos $\:\mathrm{d}x_{\tau}=\mathrm{d}y_{\tau}=\mathrm{d}z_{\tau}=0\:$ ya que conciernen al resto del marco.

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Frobenius

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