Ecuación para el campo de un dipolo magnético

En las páginas 187 y 188 Jackson explica la razón de este singular término. Si toma un dipolo cuya magnetización se distribuye uniformemente en una esfera de radio$R$entonces se puede demostrar que$\int_{r<R} \textbf{B}\: d^3{x} =\frac{2\mu_0}{3}\textbf{m}$dónde$\textbf{m}$es el momento dipolar total. A medida que uno encoge el radio de la esfera$R\to 0$la esfera se convierte en un punto pero la integral permanece igual.

Curiosamente, si el dipolo resultara de un par de cargas monopolo infinitesimalmente cercanas entre sí y no de una corriente circulante, entonces el término del lado derecho sería$-\frac{\mu_0}{3}\textbf{m}$. En la página 191, Jackson comenta que la línea hiperfina del hidrógeno estaría a 42 cm, no a 21 cm, etc. Esto es contrario al experimento que implica que la fuente del dipolo magnético intrínseco es actual.

Usando algo de "magia" delta de Dirac, también hay una transformación muy interesante de la fórmula para el campo B que citó, a saber:

$$\textbf{B}(\textbf{r}) = \mu_0 \textbf{m}\delta(\textbf{r}) - \mu_0 \nabla\frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$$ el escalar$\phi(\textbf{r})= \frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$es por supuesto el potencial del dipolo$\textbf{m}$.

Ahora bien, si en lugar de un solo dipolo$\textbf{m}$tenemos una distribución tal que$d\textbf{m}=\textbf{M}dV$entonces obtenemos

$\textbf{B}(\textbf{r}) =\left\{\begin{matrix} \mu_0 \textbf{M}(\textbf{r})+ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\in V\\ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\notin V \end{matrix}\right.$

La magnetización ocupa la región 3d.$V$y el$\textbf{H}$se define como el gradiente del potencial escalar

$$\textbf{H}(\textbf{r})=-\nabla\phi(\textbf{r})$$ y $$\phi(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{\textbf{r}'\in V} \frac{\textbf{M}\cdot (\textbf{r}-\textbf{r}')^0} {|\textbf{r}-\textbf{r}'|^2}dV$$