¿Se conservan el momento relativista y la masa relativista en la relatividad especial?

Supongamos que dos objetos chocan y se combinan en un solo objeto, ¿permanecerán iguales el momento relativista total y la masa relativista? Leí en mi libro de texto de física de grado 12 que el momento relativista se puede definir como | impulso relativista | = masa en reposo × v 1 − v 2 C 2 y la masa relativista se puede definir como masa relativista = masa en reposo 1 − v 2 C 2 . La masa total en reposo, por otro lado, no necesariamente tiene que permanecer igual. Por ejemplo, la colisión podría calentar el sistema combinado y los átomos que vibran más rápido podrían tener efectos relativistas más fuertes dando al sistema combinado más inercia a nivel macroscópico, por lo que definimos que tiene una mayor masa en reposo.

Supongamos que cualquier marco de referencia, dos objetos que no giran de cualquier masa en reposo positiva cualquier velocidad subluminal si se combinan en un ángulo tal que el sistema combinado tampoco gira, siempre se combinarán en un objeto con la misma masa en reposo y velocidad Además, supongamos que el momento relativista y la masa relativista son una función de la masa en reposo y la velocidad subluminal tal que:

  • Para cualquier velocidad subluminal, el momento relativista y la masa relativista varían linealmente con la masa en reposo.
  • El momento relativista está en la dirección de la velocidad para la velocidad subluminal distinta de cero.
  • La masa relativista y la magnitud del momento relativista no varían entre dos velocidades con la misma magnitud.
  • La masa relativista de un objeto a velocidad cero es su masa en reposo y para cualquier masa en reposo, a medida que su velocidad se acerca a cero, su cantidad de movimiento relativista dividida por su velocidad se acerca a su masa en reposo.
  • Cuando dos objetos que no giran se combinan en un solo objeto que no gira, la masa relativista total y el momento relativista se conservan.

Después de trabajar mucho, descubrí una prueba matemática en mi cabeza de que, en más de una dimensión, la única solución a estos criterios es:

  • masa relativista = masa en reposo 1 − v 2 C 2 dónde v es la velocidad del objeto, no la velocidad y C es la velocidad de la luz.
  • el momento relativista a velocidad cero es cero y para una velocidad subluminal distinta de cero, el momento relativista está en la dirección de la velocidad y | impulso relativista | = masa en reposo × v 1 − v 2 C 2
  • Para 2 objetos no giratorios de cualquier masa en reposo positiva y velocidad subluminal que se combinan en un solo objeto no giratorio, la masa en reposo y la velocidad del sistema se pueden determinar de la siguiente manera: calcule la masa relativista y el momento relativista de cada objeto y luego súmelos para obtener el la masa relativista y el momento relativista del sistema combinado luego calcule la masa en reposo y la velocidad del sistema combinado a partir de su masa relativista y el momento relativista utilizando las fórmulas para la masa relativista y el momento relativista. Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos masa en reposo = masa relativista 2 − | impulso relativista | C 2 y velocidad = impulso relativista masa relativista para momento relativista distinto de cero y masa en reposo = masa relativista para momento relativista cero.

¿Cómo sabemos que el resultado que acabo de probar es realmente correcto? No probé que los criterios originales de los que deduje este resultado sean correctos. Ese problema se puede resolver decidiendo que, por definición, la relatividad especial define la masa relativista y el momento relativista para seguir la función que se demostró que siguen en el antepenúltimo y penúltimo punto y predice que cuando dos objetos no giratorios se combinan en un solo objeto no giratorio objeto, la masa en reposo y la velocidad del sistema combinado en realidad se determinan de la manera en que se establece en el último punto. También usando matemáticas, podemos mostrar que esta predicción según la teoría es de hecho una solución al criterio original y en realidad es más fácil mostrar que es una solución que que solo puede ser una solución.

Es fácil demostrar que en la relatividad especial, las velocidades subluminales se pueden representar mediante puntos en un plano hiperbólico. Ahora, si tiene un espacio de Minkowski y para un objeto de una masa en reposo dada y cualquier velocidad subluminal, traza un punto en ese espacio de Minkowski donde la coordenada de tiempo representa su masa relativista y las coordenadas espaciales representan su momento relativista, obtiene una función de velocidades subluminales a un plano en ese espacio de Minkowski que tienen todas la misma distancia desde el origen y por lo tanto tiene geometría hiperbólica y cada velocidad corresponde exactamente al punto en ese plano hiperbólico que representa como se describió anteriormente. A partir de esto, es fácil mostrar que en cualquier marco de referencia,

Ahora bien, en el mundo real, si es el caso de cualquier material específico, cuanto más caliente está, más masa en reposo tiene por átomo y para un objeto giratorio que no vibra, su masa en reposo se define como la integral triple de la densidad relativista de cada parte en el marco de referencia donde el objeto no tiene movimiento general y la densidad relativista de cada parte se define como densidad relativista = densidad de reposo 1 − v 2 C 2 y su masa relativista en cualquier marco de referencia se define de la misma manera y también resulta que incluso para un objeto giratorio, masa relativista = masa en reposo 1 − v 2 C 2 ? ¿Es también el caso de que cuando dos objetos de una masa y velocidad en reposo dadas se combinen, ya sea que estén girando o no antes o después de la colisión, siempre se combinarán en un objeto de la masa y velocidad en reposo predichas anteriormente, independientemente de la fuente? ¿Cuánto de su masa en reposo proviene de la energía térmica y cuánto de ella proviene de la energía cinética de giro? Tal vez una teoría cuántica que no incluya la gravedad pueda predecir si ese es el caso o no.

En cuanto al marcado, debe usarlo \textpara escribir declaraciones de texto sin formato en expresiones matemáticas (pero notará que no se distingue visualmente del texto no matemático y, por lo tanto, no funciona bien en línea), y tenga en cuenta que toma un \sqrtargumento rodeado de llaves {}para decirle al programa qué tan grande/larga debe hacer la expresión.
@dmckee No sabía cómo hacer que el signo de raíz cuadrada fuera más largo, así que lo hice para que los corchetes aparecieran visualmente en la pregunta para indicar en qué parte de la expresión se pretendía operar la operación de raíz cuadrada. Ahora sé cómo hacer que el signo de la raíz cuadrada sobrepase la parte de la expresión que quiero que pase.
Ahora, desde el punto de vista de la física, señalaré que este tipo de preguntas son mucho más fáciles en la nomenclatura moderna donde solo hay una masa y no damos γ metro un nombre. Ver physics.stackexchange.com/q/133376 (y muchas otras preguntas en el sitio) para una discusión sobre el asunto
@dmckee ¿No necesitamos usar el concepto de masa en reposo para probar la conservación de la energía? Esta pregunta prueba la conservación de la masa en reposo y si insistimos en que la masa extra relativista y la energía cinética newtoniana son lo mismo, podemos derivar mi = metro C 2 . Resulta que un electrón y un positrón también se aniquilan en fotones de energía metro C 2 aunque esa derivación no prueba que lo hagan. Supongo que como resultado de todo ese descubrimiento, ahora definimos la energía relativista como metro C 2 1 − v 2 C 2
"¿No necesitamos usar el concepto de masa en reposo para probar la conservación de la energía?" Absolutamente no. A pesar de su prominencia en los tratamientos de ciencia pop, la masa relativista es tanto innecesaria como una invitación al pensamiento erróneo. Comprende que siempre hay varias formas de hablar sobre teorías físicas que tienen las mismas matemáticas subyacentes, y todas pueden ser internamente consistentes, pero puedes tener problemas al mezclar las nomenclaturas a menos que seas muy cuidadoso. En la nomenclatura moderna mi = ( metro C 2 ) 2 + ( pag → C ) 2 = γ metro C 2 (aquí metro es la masa invariante AKA la masa en reposo).
En su larga pregunta, describe lo que está escrito en cada libro de texto de relatividad. Es genial que puedas derivar ciertos conceptos por ti mismo, sin embargo, ¿por qué no simplemente leer un libro de texto antes de publicar en línea teorías detalladas de lo que ya se conoce desde hace más de un siglo? La masa relativista es energía, por lo que su pregunta se reduce a si la energía y el impulso se conservan o no en la relatividad. Sí, lo hacen de acuerdo con las leyes de conservación. Además, suelte "subluminal". Se da por defecto. ¡Buena suerte!
@safesphere Tomé ese curso de física de grado 12 en el año escolar que terminó en 2006. Creo que fue Nelson Physics 12. Nunca leí el libro completo, así que no sé si en ese momento, los libros de texto de la escuela secundaria no lo hicieron. enseñalo.

Respuestas (2)

"Supongamos que dos objetos chocan y se combinan en un solo objeto, ¿se mantendrán iguales el momento relativista total y la masa relativista?"

La respuesta es "sí", o mejor dicho, sus sumas sobre el sistema de cuerpos seguirán siendo las mismas, pero le aconsejo que deje de usar el término masa relativista . Está quedando fuera de uso por una serie de buenas razones con las que no los aburriré ahora.

metro γ C 2 donde m es la masa del cuerpo (anteriormente llamada 'masa en reposo') representa la suma de la energía interna del cuerpo, metro C 2 y su energía cinética ( γ metro − metro ) C 2 . Entonces, para un sistema cerrado, su suma sobre los cuerpos del sistema se conserva en colisiones, elásticas o inelásticas. Pensar en γ metro como la energía total del cuerpo , expresada en unidades de masa.

La belleza de esto es que la energía total de un cuerpo (dividida por la mera constante, c ) y los tres componentes de su cantidad de movimiento ( metro γ tu X , metro γ tu y , metro γ tu z ) componen un vector de 4 componentes (o 4 vectores): ( metro γ C , metro γ tu X , metro γ tu y , metro γ tu z ) . Entonces, para un sistema cerrado, a pesar de las colisiones elásticas o inelásticas, se conserva la suma vectorial de estos vectores, es decir, las sumas de cada componente por separado. Uno de 4 vectores conservados se ocupa de la conservación de la energía y la conservación del momento.

Tenga en cuenta también que el módulo del 4-vector, definido como ( metro γ C ) 2 − ( metro γ tu X ) 2 − ( metro γ tu y ) 2 − ( metro γ tu z ) 2 , es simple metro C , la masa del cuerpo multiplicada por la mera constante, c .

metro es una constante para el cuerpo (¡siempre y cuando no alteremos el cuerpo, por ejemplo, cambiando su energía interna!) y no varía de cuadro a cuadro. Es una invariante de Lorentz. [Cuidado: la suma de las masas (masas en reposo) de los cuerpos en un sistema no tiene un significado evidente; ¡ciertamente no es la masa (masa en reposo) del sistema!]

Me he extendido más de lo que debería haber hecho. Es todo tan maravilloso. Una introducción clásica a la Relatividad Especial, de primer nivel en conceptos, es Spacetime Physics de Taylor y Wheeler.

Si elimino el uso de la frase "masa relativista" y reemplazo las ecuaciones que la describen con las siguientes ecuaciones que describen la energía relativista: la energía relativista es una función de la masa en reposo y la velocidad y se conserva cuando dos objetos chocan y se combinan en uno; para cualquier masa en reposo dada, la energía relativista no varía entre dos velocidades con la misma magnitud; para cualquier velocidad, la energía relativista varía linealmente con la masa en reposo; y el cambio en la energía relativista se aproxima al cambio en 1 2 metro v 2 para bajas velocidades; entonces podemos derivar mi = metro C 2 para un objeto en reposo.
Sí, creo que lo que has dicho es correcto hasta "el cambio en la energía relativista se aproxima al cambio en 1 2 metro v 2 para velocidades bajas". La energía podría cambiar debido al cambio en la masa en reposo. Lo que usted C a norte decir es que la KE relativista, ( ( γ − 1 ) metro C 2 ), se aproxima a 1 2 metro v 2 a bajas velocidades En cuanto a derivar mi = metro C 2 para un objeto en reposo, hay varias formas de llegar a esto. Sobre todo, le recomiendo encarecidamente que lea un libro como Taylor/Wheeler. El enfoque de espacio-tiempo de cuatro dimensiones hace que todo sea mucho más fácil y natural.
Estaba pensando que un cambio en la energía relativista se aproxima a un cambio en 1 2 metro v 2 para velocidades bajas si la masa restante no cambia pero luego se olvidó de escribir eso. Creo que terminé sin tener suficientes caracteres para escribir eso, pero no es por eso que no lo escribí. Sé cómo probar que hay exactamente una solución a cómo varía el impulso y la energía con la masa en reposo y la velocidad y en qué masa en reposo y velocidad subluminal se combinarán 2 objetos de una masa en reposo y una velocidad subluminal dadas.

Sí, las leyes de conservación son aquello en lo que usted define la energía (masa relativista) y el momento en función de, tanto en la relatividad como en la mecánica no relativista. La energía se define como una cantidad de movimiento escalar conservada y el momento como una cantidad de movimiento vectorial conservada.

La masa en reposo no se conserva, porque la norma de una suma no es lo mismo que la suma de normas. ( v m + w m ) ( v m + w m ) ≠ v m v m + w v w v .

¿Se conservan el momento relativista y la masa relativista en la relatividad especial?
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