Conservación de 4-momentum en relatividad especial

Entiendo que el producto interno de dos 4 vectores se conserva bajo las transformaciones de Lorentz

Sí,$p_1.p_2$es un invariante de Lorentz

De modo que el valor absoluto de los cuatro impulsos es el mismo en cualquier marco de referencia.

No es correcto hablar del "valor absoluto" de un (cuadri)vector. que se conserva en una transformación de Lorentz es$p^2 = (p^o)^2 - \vec p^2$

Esto es lo que (muy probablemente erróneamente) pensé que significaba la conservación del impulso.

No, la conservación del impulso es algo completamente diferente. En última instancia, tiene alguna teoría que describe campos e interacciones, describiendo por una acción que es invariable por algunas simetrías. Si la acción es invariable por traslaciones de espacio y tiempo, entonces hay una cantidad conservada que es cantidad de movimiento/energía.

No entiendo por qué ecuaciones como P 1 = P 2 + P 3 (P i son vectores de 4 impulsos para diferentes partículas en una colisión, por ejemplo) deberían mantenerse dentro de un marco de referencia. Me han dicho que no puedes simplemente sumar cuatro velocidades juntas en la colisión de partículas, entonces, ¿por qué deberías poder hacer esto con los vectores de momento?

Si la acción de la teoría es invariable por las traslaciones de espacio/tiempo, entonces el impulso/energía se conserva, por lo que el impulso/energía total de las partículas iniciales es el mismo que el impulso/energía total de las partículas finales:

Si hay varias partículas iniciales, se consideran independientes (el estado global es el producto tensorial de los estados de las partículas iniciales). La independencia significa que usted tiene:

En relatividad especial, si sumas dos velocidades, tienes que usar la fórmula

Entonces no puedes simplemente sumar dos velocidades juntas. Por lo general, la velocidad no es una buena variable para trabajar en la relatividad especial. Es mucho más fácil usar la conservación de cuatro impulsos, que simplemente viene dada por

para una colisión de partículas donde dos partículas con$p_1$y$p_2$chocan y luego se mantienen unidos y tienen el impulso$p$. Dado que el cuatro impulso está dado por

la conservación del cuatro impulso no es más que la conservación de la energía$E$y la conservación de tres impulsos$\vec{p}$.

Para responder tu pregunta:

¿ Por qué podemos agregar cuatro impulsos en una colisión de partículas? Porque la conservación de la energía y el momento también es válida en la relatividad.

¿ Por qué no podemos sumar cuatro velocidades en una colisión de partículas? Porque no existe tal cosa como la "conservación de la velocidad", ni clásicamente ni en relatividad.

Simplemente puede verificar cada componente y son solo conservación de impulso en 3 impulsos. No hay conservación de la velocidad, por lo que no se pueden sumar.