Rotación simple de una función de onda orbital atómica

Sabemos que una función de onda orbital atómica se puede escribir en términos de coordenadas polares,

ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) A ( θ , ϕ )
dónde R ( r ) es la componente radial y A ( θ , ϕ ) es la parte angular.

Hay muchos orbitales de interés, pero en particular estoy interesado en aplicar una operación de simetría en d X y . Sabemos que la parte angular de este orbital es pecado 2 ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( 2 ϕ ) . Supongamos que quiero rotar solo a lo largo de un eje, digamos θ , así que arreglo ϕ y rotar θ por π / 2 . Esto significa que el orbital girado ahora se escribe como A ( θ + π / 2 , ϕ ) = pecado 2 ⁡ ( θ + π / 2 ) pecado ⁡ ( 2 ϕ ) . Lo sabemos por trigonometría. eso pecado ⁡ ( a + π / 2 ) = porque ⁡ ( a ) , por lo tanto, la parte angular de nuestro orbital transformado ahora se puede escribir como

A ( θ + π / 2 , ϕ ) = porque 2 ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( 2 ϕ )

sin embargo, los enfoques gráficos de este problema para el orbital real sugieren esto C ^ 4 la rotación debe devolver − d X y . ¿Qué me estoy perdiendo?

Respuestas (1)

Hiciste la rotación incorrectamente --- rotando para agregar 90 grados a θ no agrega una constante a θ , gira el plano xy 90 grados. El ángulo que solía ser ϕ es ahora θ -como en el sentido de que gira en un plano que incluye el eje z, y el ϕ la dependencia se cambia por completo.

La forma más fácil de rotar esta función de onda angular es notar que es la parte angular del polinomio cuadrático 2xy. Rotar 90 grados alrededor del eje y lleva z a x yx a menos z, y así da el polinomio - 2yz. Sustituyendo la forma angular de z e y, obtienes

A ( θ , ϕ ) = − porque ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( ϕ ) = − porque ⁡ ( 2 θ ) pecado ⁡ ( ϕ )

En general, no gire las funciones de onda angulares en coordenadas polares. Escríbalos como polinomios y gire su forma de coordenadas rectangulares. Hay una forma tabulada de escribir la rotación de las funciones de onda angulares en términos de sí mismas, pero esto suele ser más problemático que convertir de la forma en que lo hice anteriormente.

¿Dónde puedo leer más sobre esta forma tabulada de escribirlos en términos de sí mismos? La razón por la que estoy interesado en esto es porque estoy tratando de descubrir las propiedades de transformación de las combinaciones lineales adaptadas a la simetría por mí mismo, pero descubrí que no puedo atacar esto de manera confiable a través del enfoque gráfico.
Es importante destacar que tengo curiosidad acerca de esto porque no veo cómo la función angular girada que se muestra arriba está relacionada con − d X y .
La rotación de las funciones angulares en sí mismas se conoce como las representaciones de espín entero del grupo de rotación, y se cubre en la mayoría de los abucheos de mecánica cuántica, bajo "momento angular". Si ignora la física, puede leer este capítulo directamente. Las fórmulas que desea usan una matriz "D" para escribir las versiones rotadas de las partes angulares en términos de otras Y con la misma l y diferente m, verá una D_{mm'}(\theta).
Fresco. Descubrí que obtengo mi respuesta girando sobre el z eje en su lugar. ¡Gracias por la ayuda!
Un buen applet de Java está aquí: falstad.com/qmatom Puede rotar orbitales con su mouse.
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