Rindler movimiento constante aceleración tiempo propio

La velocidad se define como$dx'/dt'$, que en tu caso resulta ser:

$$v'=\frac{dx'}{dt'}=c\tanh\left(\frac{g\tau}{c}\right)$$

dónde$g$es la aceleración adecuada. Note que como$\tau\rightarrow\infty$,$v\rightarrow c$, como cabría esperar.

A partir de esto, puede calcular el tiempo adecuado en sí mismo.$d\tau=dt'/\gamma$.

$$\begin{align} d\tau&=dt'\sqrt{1-v'^2/c^2}\\ &=\left(d\tau\cosh\left(\frac{g\tau}{c}\right)\right)\sqrt{1-\tanh^2\left(\frac{g\tau}{c}\right)}\\ &=d\tau \end{align}$$

como se esperaba. Si quieres encontrar$\tau$como una función de$t'$, integrarías:

$$\begin{align} \tau&=\int_{t'_0}^{t'} dt''\sqrt{1-v'(t'')^2/c^2}\\ &=\int_{t'_0}^{t'} dt''\left(1+\sinh^2(g\tau(t'')/c)\right)^{-1/2}\\ &=\int_{t'_0}^{t'} dt''\left(1+(gt''/c)^2\right)^{-1/2}\\ &=\frac{c}{g}\left[\sinh^{-1}(gt'/c)-\sinh^{-1}(gt'_0/c)\right] \end{align}$$