¿Cuál es la transformación de coordenadas (relativista) entre marcos de referencia no inerciales?

Creo que es mejor comenzar esta pregunta con un experimento mental. Tenemos una nave espacial y la Tierra. Para nuestros propósitos, la Tierra no tiene aceleración ni velocidad y comienza en el origen. La nave espacial acelera alejándose de la Tierra con una aceleración constante. a . Este cohete comienza en el origen ( X 0 ′ = 0 ) con velocidad 0. En este experimento mental, ignoramos las derivadas de orden superior y la gravedad. En todo caso, deberíamos derivar los efectos relativistas de la gravedad a partir de los resultados de este experimento mental, como lo muestra el principio de equivalencia.

En mis intentos por resolver esto hasta ahora, he asumido que la velocidad de la luz es invariable en el marco de referencia acelerado (de modo que X ′ = C t ′ aquí para un pulso de luz). ¿Es esto válido? ¿La aceleración (como se muestra en el experimento mental) es absoluta o relativa (tanto la Tierra como la nave espacial están acelerando entre sí o la nave espacial está acelerando absolutamente)? Hasta ahora, esto es lo que se me ocurrió al tratar de resolver esto. Dígame si me equivoco en alguna parte, qué pasos debo seguir y/o a qué conclusiones debo llegar:

  • El factor gamma de Lorentz seguirá siendo parte de esta transformación de coordenadas acelerada, pero en lugar de ser una función de v , será una función de a t , ya que esa es la velocidad entre los marcos de referencia (recuerde que v 0 es 0 para mis condiciones iniciales, por lo que nunca lo consideré por simplicidad, pero siéntase libre de incluirlo ya que es importante en esta transformación) para que gamma tome la forma 1 / 1 − ( a t ) 2 / C 2 .

  • Para el X ′ ecuación de transformación, X no cambia, ya que se refiere a la posición de un evento y, por lo tanto, permanece igual cuando se introduce la aceleración en la transformación.

  • Para el X ′ ecuación de transformación, v t está integrado (probablemente estoy usando un término incorrecto aquí, quiero decir que la aceleración está incluida en la velocidad), y se convierte en 1 / 2 a t 2 + v 0 2 (dónde v 0 es 0 para mis condiciones iniciales). como tal, el X ′ la ecuación de transformación es γ ( ( X mi v mi norte t ) − ( v F r a metro mi ) t − 1 / 2 ( a F r a metro mi ) t 2 ) .

Traté de encontrar el t ′ ecuación de transformación con estos parámetros y sabiendo que X ′ = C t ′ mientras X = C t , pero no pude resolverlo. ¿Cuáles son las transformaciones de coordenadas del espacio-tiempo entre marcos de referencia cuando uno se acelera en relación con el otro? ¿Cómo los encontramos?

Respuestas (1)

He asumido que la velocidad de la luz es invariable en el marco de referencia acelerado (de modo que x'=ct' aquí para un pulso de luz). ¿Es esto válido?

No existe un marco de referencia estándar definido para un observador no inercial como lo hay para los observadores inerciales. Hay muchos marcos de referencia no inerciales válidos donde la velocidad de la luz no es igual a c. Sin embargo, existe una clase de marcos de referencia no inerciales donde la velocidad de la luz es igual a c, donde las coordenadas de tiempo y espacio se basan en el tiempo de radar y la distancia de radar.

Ver Dolby y Gaviota: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0104077

¿Cuáles son las transformaciones de coordenadas del espacio-tiempo entre marcos de referencia cuando uno se acelera en relación con el otro? ¿Cómo los encontramos?

Las transformaciones son sustancialmente más complicadas de lo que estabas sugiriendo. La transformación completa se deriva de la cita de Dolby y Gull. En particular, le interesan sus coordenadas de radar en la región U descrita en la Figura 6 y las ecuaciones asociadas. Como se derivan (en unidades naturales)

t ′ = 1 2 a registro ⁡ ( X + t X − t )
X ′ = 1 2 a registro ⁡ ( a 2 X 2 − a 2 t 2 )

Muy bien, miré ese artículo. ¿Está seguro de que es técnicamente preciso/fiable? Me han dicho que arXiv generalmente no es confiable debido a razones como la falta de revisión por pares. Además, las ecuaciones se reducen a 0 si a=0, independientemente de las coordenadas. ¿Esto se debe a que asumo que x_0=0 y v_0=0? Finalmente, la ecuación t' parece implicar que, debido a la función logarítmica en la ecuación t', a medida que x aumenta, t' aumenta a una tasa variable. Esto se confirma en el artículo, donde t' en la 'hipersuperficie de simultaneidad' es una función logarítmica. Como tal, el cambio de
tiempo proporcional al espacio en relación con un observador (desplazamiento de t' a medida que x aumenta) tienen una tasa de cambio exponencial? Esto no parece tener sentido para mí, pero tal vez sea solo porque estoy acostumbrado a la relatividad especial sin aceleración. Después de todo, el espacio se desplaza al 'mismo ritmo' que ct, y el observador acelera en el espacio (la diferencia entre x -> x' es exponencial).
@Sciencemaster tiene razón en que arxiv no es una fuente confiable. De hecho, no debe considerarse una fuente en absoluto. Es simplemente un servicio de archivo. La fuente del artículo de Dolby y Gull no es arxiv, sino el Am.J.Phys revisado por pares. 69 (2001) 1257-1261. Arxiv es solo un lugar conveniente para acceder a esa fuente. Con respecto al hecho de que las coordenadas no cumplen con sus expectativas, puede hacer su propia derivación. Puede comenzar con las fórmulas básicas de tiempo y distancia del radar y elegir su propia parametrización para el observador acelerado. te animo a hacerlo
Muy bien, gracias por aclarar eso. Además, mirando hacia atrás, cometí un error: el artículo establece que la 'hipersuperficie de simultaneidad' es una función de tangente, no de registro (lo que todavía me parece contradictorio, pero espero poder aceptarlo una vez que lo derive). Sin embargo , el concepto de tiempo de radar es nuevo para mí. Intenté buscarlo en línea, lo que no arrojó más resultados que el mismo artículo (lo cual es una señal de alerta para la credibilidad del artículo en mi mente). En cualquier caso, solo parece ser el promedio del tiempo entre el momento en que se emite un haz de luz y el momento en que se recibe.
Otro problema que tomo con este artículo que me gustaría aclarar es con la afirmación inicial de que no tendría sentido que a un evento se le asignaran múltiples coordenadas de tiempo en el marco de referencia acelerado y que un objeto 'retrocede en el tiempo' . A primera vista, estas parecen ser propiedades muy válidas e intuitivas del espacio-tiempo que necesitan ser 'arregladas'. Sin embargo, es importante tener en cuenta que esto solo ocurre fuera del cono de luz de un observador que acelera. Sin embargo, es más importante señalar que en el caso de que un observador acelere para "dar la vuelta", el observador...
...solo acelera por un tiempo finito, y luego una vez más se mueve con una velocidad constante, convirtiéndolo en un marco de referencia inercial. Como tal, se comportará como se muestra en las Transformaciones de Lorentz relativistas especiales (en ausencia de gravedad) mientras el observador que acelera durante algún tiempo se mueve con una velocidad constante. Como tal, con suficiente distancia (consulte las Transformaciones de Lorentz), los 'hiperplanos de simultaneidad' de antes y después de la aceleración aún se superpondrán, asignando así múltiples coordenadas de tiempo al mismo evento.
No parece tener sentido hacer que estos 'hiperplanos de simultaneidad' sean asintóticos incluso después de que la aceleración sea 'completa', ya que el observador se encuentra ahora en un marco de referencia inercial. Sin embargo, esto es lo que el artículo parece afirmar. Esto haría que un observador en un marco de referencia inercial que una vez se haya acelerado esté 'contaminado' por falta de un término mejor, ya que con suficiente espacio, tendría que alcanzar una asíntota para evitar una superposición, ya que los 'hiperplanos' no son 'paralelos '. Finalmente, esto no tiene sentido si piensas en los 'hiperplanos' como conectados al marco de referencia en lugar del observador.
Esto se debe a que el marco de referencia no debe "recordar" ninguna aceleración y, por lo tanto, los "hiperplanos de simultaneidad" asociados no deben comportarse asintóticamente en ningún marco de referencia inercial. Simplemente debe ser consistente con las Transformaciones de Lorentz relativistas especiales. Además, las transformaciones dadas no parecen aproximarse a las transformaciones de Lorentz inerciales para aceleraciones bajas, especialmente cuando todo se multiplica por la aceleración (que, por lo tanto, se aproximaría a cero). Finalmente, estas Transformaciones de aceleración tienen que ser similares a las descritas por
la Relatividad General de Einstein, lo que estas transformaciones podrían hacer. Tal vez alguien mejor en matemáticas que yo pueda confirmar que este es el caso. En cualquier caso, ¿está seguro de que estas transformaciones son precisas para un marco de referencia acelerado? ¿Me estoy perdiendo de algo? Si no, esto parece implicar que las transformaciones de coordenadas para un marco de referencia acelerado son diferentes, especialmente cuando, luego de una inspección más detallada, no puedo encontrar nada más en Internet que confirme que estas son las transformaciones de coordenadas correctas para un marco de referencia acelerado. Alguien me ayudaría por favor?
@Sciencemaster sí, estoy seguro de que son correctos. No son necesarios, pero son correctos. No existe una definición estándar de marco no inercial, por lo que puede elegir usar coordenadas que violen el segundo postulado. Sin embargo, si elige usar coordenadas que respeten el segundo postulado, este es el resultado. En cuanto a otras fuentes, el propio artículo enumera varias. Este enfoque también se conoce como coordenadas de Marzke Wheeler y está estrechamente relacionado con las coordenadas nulas. Si desea más discusión, vaya a physicsforums.com donde también estoy activo. Los comentarios aquí no son para discusión
Muy bien, pido disculpas por cualquier inconveniente que esto pueda haber causado. ¿Cómo puedo discutir esto más con usted en el sitio web de Physics Forums (es decir, cuál es su nombre de usuario? Me imagino que 'Dale' es un nombre (de usuario) bastante común.
Los nombres de usuario de @Sciencemaster son únicos allí. Puede simplemente @ Dale allí y me alertará si no lo veo de todos modos
¿Cuál es la transformación de coordenadas (relativista) entre marcos de referencia no inerciales?
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