Resolviendo la ecuación de Klein-Gordon en las coordenadas de Rindler - el efecto Unruh

Question

Resolviendo la ecuación de Klein-Gordon en las coordenadas de Rindler - el efecto Unruh

usuario7757

Estoy leyendo las notas de 't Hooft sobre Black Holes. Quiero encontrar las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon $(\tilde{x},\tilde{y}, \rho, \tau)$ en las coordenadas de Rindler que son

X = \tilde{X} y = \tilde{y} z = ρ aporrear τ t = ρ pecado τ

$x=\tilde{x}\,\,\,\,\ y= \tilde{y}\,\,\,\,\,\,z=\rho \cosh{\tau}\,\,\,\,\,t=\rho \sinh{\tau}$ .

ingrese la descripción de la imagen aquí

En primer lugar, mirando la solución a primera vista, ¿por qué hay dos parámetros? $\omega$ , $\mu$ , cuando la solución de Klein-Gordon en el espacio de Minkowski tiene una solución con un parámetro $\omega$ satisfaciendo la condición de masa sobre el caparazón.

En segundo lugar, ¿cómo se obtiene esa solución? Siguiendo el consejo de 't Hooft, escribí la solución habitual con $k_3=0, k_0=\mu$ en términos de las coordenadas de Rindler y transformada de Fourier con el tiempo.

Φ_{m} = \int d τ {mi}^{i \tilde{k} \cdot \tilde{X} - m ρ \frac{{mi}^{τ} - {mi}^{- τ}}{2}} {mi}^{i ω τ}

$\Phi_{\mu}=\int d{\tau}\, e^{i{\tilde{k} \cdot \tilde{x}-\mu \rho \frac{e^{\tau}-e^{-\tau}}{2}}} e^{i\omega \tau}$

Configuración $s=e^{i\tau}$ , obtengo la primera expresión de la ecuación 17.7, pero sin la $e^{\tau}$ factores para $\alpha, \beta$ . Obviamente, me estoy equivocando en alguna parte, estoy transformando Fourier al espacio de frecuencia, entonces, ¿por qué es $\tau$ ¿aún allí? ¿No debería ser solo $\mu$ y $\omega$ o $\mu$ y $\tau$ ?

Respuestas (1)

Resolviendo la ecuación de Klein-Gordon en las coordenadas de Rindler - el efecto Unruh

higgsss · Answer 1

Dado que tiene transformada de Fourier para extraer el componente con la frecuencia única $\omega$ , su dependencia del tiempo está dada por $e^{-i\omega \tau}$ . Multiplique este factor después de la transformación de Fourier para expresar el comportamiento de este componente de frecuencia única en el dominio del tiempo.

Lo que obtienes de lo anterior es la última expresión en 17.7 (es decir, la que no tiene $e^{\tau}$ factores). Luego, usando 17.9, puedes derivar la expresión con la $e^{\tau}$ factores

Lo siento por la respuesta tardía. De alguna manera no recibí la notificación de una respuesta a esta pregunta. No tengo ni idea de lo que estás hablando, tengo $\Phi$ , que es una función del tiempo, y estoy transformando Fourier al dominio de la frecuencia. ¿Qué significa cuando dice que la expresión transformada es independiente del tiempo? ¿No se ha cambiado la variable de tiempo a $\omega$ ?
Lo que realmente hace aquí es extraer una solución correspondiente a la frecuencia única $\omega$ . Técnicamente, haces esto transformando Fourier y luego multiplicando $e^{-i\omega \tau}$ .

Resolviendo la ecuación de Klein-Gordon en las coordenadas de Rindler - el efecto Unruh

usuario7757

Respuestas (1)

higgsss

usuario7757

higgsss

Radiación de Hawking: ¿cómo cruza una partícula el horizonte de sucesos?

¿Por qué hay un flujo de radiación en el efecto Hawking pero no en el efecto Unruh? (y otras preguntas)

¿Cuál es el efecto de la condición de localidad si un "observador Rindler" flota cerca de un agujero negro?

Radiación térmica en el Efecto Unruh

Teorema de ausencia de cabello para agujeros negros y el número bariónico

El contenido de partículas de un estado dado

Termodinámica de agujeros negros en una métrica dependiente del tiempo

Efecto unruh para periodo finito de baja aceleración

¿La radiación de Hawking conduce a la evaporación/reducción de la masa del agujero negro?

Observador dentro del horizonte de eventos de un agujero negro extremadamente grande [duplicado]