Resolver la respuesta lineal en el dominio de la frecuencia

Mi pregunta surge de una derivación dada en el capítulo 12 de Métodos de mecánica cuántica molecular de R. McWeeny para resolver ecuaciones de respuesta lineal a través de la teoría de la perturbación variacional. ( Funciones de correlación de respuesta lineal para un poco más de contexto).

Mi problema surge de una extraña elección que hace el autor al definir la parte de perturbación del hamiltoniano. Escriben la perturbación como$\mathbf{H}'(t)=F(t)\mathbf{A}$donde describen$F(t)$como una función de fuerza dependiente del tiempo y$A$como una especie de función de forma para la perturbación.

Luego expresa el hamiltoniano usando una transformada de Fourier como

$$\mathbf{H}'(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega)\frac{1}{2}(\mathbf{A}_\omega e^{-i\omega t}+\mathbf{A}_{-\omega} e^{i\omega t}) d\omega$$ con$\mathbf{A}=\frac{1}{2}(\mathbf{A}_\omega+\mathbf{A}_{-\omega})$, asumiendo$\mathbf{A}_{-\omega}=\mathbf{A}^\dagger_\omega$, y$f(\omega)=f(-\omega)$con$f(\omega)$la transformada de Fourier de$F(t)$.

Ahora aquí es donde me confundo. Continúa definiendo$\mathbf{H}'(\omega)=\frac{1}{2}(\mathbf{A}_\omega e^{-i\omega t}+\mathbf{A}_{-\omega}e^{i\omega t})$. Para mí, la notación ya es lo suficientemente engañosa, ya que parece implicar que esta es la Transformada de Fourier de$\mathbf{H}'$, pero también reemplaza directamente las instancias de$\mathbf{H}'(t)$con$\mathbf{H}'(\omega)$para resolverlos. Por ejemplo, da una expresión inicial para los coeficientes de primer orden de la función de onda perturbada como:

$$c_n(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{-\infty}^t \left<n|\mathbf{A}|0\right> F(t')\exp(i\omega_{0n}t')dt'$$ Luego, en la página siguiente, da otra expresión sustituyendo$\mathbf{H}'(\omega)$(con un factor de convergencia$\epsilon$también introducido): $$c_n(t)=-\frac{1}{2\hbar}\big[\frac{\left<n|\mathbf{A}|0\right>}{\omega_{0n}-\omega-i\epsilon}\exp(i(\omega_{0n}-\omega-i\epsilon))+(\omega\to -\omega)\big]$$

¿Cuál sería la expresión obtenida si$\mathbf{H}'(\omega)$reemplazado directamente$\mathbf{H}'(t)$. Inicialmente había pasado por alto esta sección porque no tenía mucha relación con las secciones posteriores, pero este uso de$\mathbf{H}'(\omega)$ha vuelto a surgir y todavía no estoy seguro de cómo/por qué se usa.

¿Hay alguna explicación de lo que está haciendo el autor con este factor o si hay algún error en las fórmulas? Supuse que tal vez la segunda expresión de los coeficientes debería ser una función de$\omega$en lugar de tiempo, pero no puedo confirmar con certeza si eso tiene sentido.

Al buscar en línea, encontré otro uso de este formato, aunque parece que posiblemente se derive de mi fuente. ¿Alguien más se ha encontrado con esto antes?