Representación adjunta del grupo Lorentz

Sospecho que la impecable respuesta de WetSavannaAnimal es demasiado abstracta y general para satisfacer el OP. Déjame vulgarizarlo un poco. El grupo de Lorentz tiene 6 generadores, por lo que su representante adjunto será un representante de 6 dimensiones, un conjunto de matrices de 6x6, que satisfacen la misma álgebra de Lie (conmutadores) que las matrices convencionales de 4x4 que transforman la fundamental (x, y, z, t ) 4 vectores. Como nota aparte, tenga en cuenta que la forma de curvatura (paridad inv. forma 2) del grupo de Lorentz también es de 6 dimensiones.

Recuerde que el grupo de Lorentz puede escribirse de una forma bonita , es decir, rotaciones$J_i\equiv −\epsilon_{imn} M_{mn} /2$y aumenta,$K_i\equiv M_{0i}$, de modo que$[J_m,J_n] = i \epsilon_{mnk} J_k$,$[J_m,K_n] = i \epsilon_{mnk} K_k$,$[K_m,K_n] = -i \epsilon_{mnk} J_k$.

Podría señalar además la importante simplificación$[J_m +i K_m, J_n −i K_n]$, que permite la reducción del álgebra de Lorentz a su(2) ⊕ su(2) y el tratamiento eficiente de sus representaciones asociadas.

Ahora considere las seis matrices de 6x6 con las 3 J+iK s en el subespacio 3x3 superior izquierdo de estas 6x6, y las 3 J-iK s en el bloque inferior derecho, abarcadas por los índices 4,5,6. Mantenga los índices del bloque superior izquierdo para que sean los habituales 1,2,3; y cambie el nombre de los índices del bloque inferior derecho de 1,2,3 a 4,5,6. Las relaciones de conmutación son entonces manifiestas y las constantes de estructura$f_{mnl}$son escasos, básicamente$\epsilon_{ijk}$para los índices (1,2,3) o (4,5,6), y cero en caso contrario.

Entonces, como probablemente aprendió de SU(3), estas mismas constantes de estructura f proporcionan sus matrices de 6x6 en el adjunto, con uno de los 3 índices (tomando 6 valores) especificando el generador particular del grupo de Lorentz representado.

Cada grupo de Lie tiene una representación adjunta. No estoy seguro de qué definición proviene de la representación adjunta, pero aquí está la fundamental que estoy seguro de que verá que siempre tiene sentido.

Pensar en un$C^1$camino$\sigma:[-1,1]\to\mathfrak{G}$a través de la identidad en un grupo de Lie$\mathfrak{G}$con$\sigma(0) =\mathrm{id}$y con tangente$X$allá.

Ahora piensa en un miembro general del grupo$\gamma \in\mathfrak{G}$actuando en ese camino para que$\sigma(t) \mapsto \gamma^{-1} \sigma(t) \gamma$. Esto también es naturalmente un camino a través de la identidad y tiene una tangente transformada.$X^\prime$allá. Esta transformación es lineal. Decimos que el grupo "actúa por su cuenta Lie álgebra$\mathfrak{g}$" de esta manera y escribir la transformación$X\mapsto\gamma^{-1} X \gamma$. Esto es solo notación, pero en un grupo de Lie matricial también es un producto matricial literal. Quizás, entonces, menos confusamente escribimos$X\mapsto {\rm Ad}(\gamma) X$, donde la transformación lineal${\rm Ad}(\gamma)$forjado por$\gamma$sobre el álgebra de Lie ahora es miembro de$GL(\mathfrak{g})$, el grupo de transformaciones lineales invertibles del álgebra de Lie$\mathfrak{g}$considerado como un espacio vectorial simple. La Asociación

es un homomorfismo como se muestra fácilmente. Esto a veces se llama la Representación Adjunta del grupo de Lie. A través de la gran representación Ad Adjoint$\mathfrak{G}$se asigna a un nuevo grupo de Lie, esta vez siempre un grupo de matriz de Lie, un subgrupo de$GL(\mathfrak{g})$.

Ahora bien, podemos mirar

Esto también es un operador lineal en$\mathfrak{g}$, aunque en general no invertible. De hecho, puede demostrar sin demasiado conflicto que:

Entonces, de hecho, la representación adjunta de Big Ad induce un homomorfismo de álgebras de Lie$\rho^\prime:\mathfrak{g} \to {\rm Lie}(\rho(\mathfrak{G}))$. Este también es un homomorfismo de espacios lineales y, además, un homomorfismo que respeta los corchetes de Lie. Por lo tanto, es un homomorfismo del álgebra de Lie y también se le llama representación adjunta (del álgebra de Lie). Me gusta llamarlo pintorescamente pequeña representación adjunta.

Ahora, aquí para mí está una de las ecuaciones más bellas que existen:

Esta es una reafirmación del hecho de que little ad respeta los corchetes de Lie. Pero también es una forma de la identidad jacobi disfrazada . ¡Guau! Ese es el VERDADERO significado de la identidad de Jacobi: está ahí, así que la representación adjunta de un grupo de Lie, claramente algo muy básico y fundamental, induce un homomorfismo en las álgebras de Lie correspondientes que respetan los corchetes de Lie. Todo es exactamente como esperábamos y, por lo tanto, si alguna vez estás diseñando un Universo, ¡es por eso que debes recordar incluir la identidad de Jacobi! ¡Escriba una nota para usted ahora para que no lo olvide! Ahora mis habilidades con LaTeX no están a la altura de dibujar un diagrama conmutativo de memoria, así que espero que puedas ver que hay uno bastante limpio y simple.

Solo otro par de datos interesantes. El núcleo de Big Ad es el centro del grupo Lie. El núcleo de little ad es entonces el centro del álgebra de Lie. Entonces, si el grupo de Lie es simple, es decir, no contiene subgrupos de Lie normales, entonces no puede haber un centro continuo para aniquilar por el homomorfismo. Lo mismo es cierto si el grupo simplemente no tiene un centro continuo por razones distintas a la simplicidad. Así que no hay fragmentos del álgebra de Lie que se eliminen. El grupo de Lie original y la imagen de Big Ad tienen exactamente el mismo álgebra de Lie. Si además no hay un centro discreto en un grupo de Lie simple y si el grupo está conectado, entonces el grupo de Lie y la imagen de la representación adjunta son el mismo grupo de Lie .

Bueno. Así que ahora especialicémonos en el grupo de Lorentz. No hay un centro continuo, por inspección de las relaciones de conmutación. Por lo tanto, el álgebra de mentira de la imagen de Big Ad es exactamente igual que el álgebra de mentira del grupo de Lorentz. Tampoco hay un centro discreto en el grupo de Lorentz.$\ker(\rho) = \{\mathrm{id}\}$, entonces, por el teorema del homomorfismo, la imagen de$SO(1,3)$bajo la representación adjunta de Big Ad está el propio grupo Lorentz.

Cada grupo tiene una representación adjunta. Si conoce la geometría diferencial, definir esto es sencillo. es un mapa:

$Ad: G \rightarrow Aut(G')$

Dónde$G$es un grupo y escribo$G'$por su álgebra de Lie.

Más precisamente, se define a través del mapa de conjugación:

$Cj: G \rightarrow Aut(G)$

Entonces$Cj(g): G \rightarrow G$

y nos pusimos$Cj(g).h := g^h = hgh^{-1}$

Entonces tomando el paquete tangente da
$TCj(g): TG \rightarrow TG$

Y entonces el espacio tangente en la identidad es:$T_eCj(g):T_eG \rightarrow T_eG$

Pero el espacio tangente en la identidad de cualquier grupo de Lie es simplemente su álgebra de Lie. Por lo tanto tenemos,$T_eG = G'$y entonces lo anterior es:

$T_eCj(g): G' \rightarrow G'$

Y ponemos:

$Ad(g) := T_eCj(g)$

Resulta que el mapa adjunto para$SU(2)$es simplemente el mapa de doble cobertura de$SO(3)$.